Untuk setiap bilangan asli n , perhatikan pernyataan-pernyataan berikut : 1) 31 membagi 5 n + 1 + 6 2 n − 1 2) 8 membagi 1 9 n − 1 1 n Dengan menggunakan induksi matematika, berdasarkan nilai kebenaran kedua pernyataan di atas, maka pernyataan yang pasti bernilai benar adalah ….

Pembahasan

Pernyataan 1: Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n , yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Perhatikan bahwa Karena 31 habis dibagi 31, maka habis dibagi 31 atau 31 membagi Sehingga benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Perhatikan bahwa Karena 31 habis dibagi 31, maka juga habis dibagi 31. Karena habis dibagi 31, maka juga habis dibagi 31. Dengan demikian, didapat bahwa 31 membagi atau bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Maka, benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika. Pernyataan 2: Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n , yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Perhatikan bahwa Karena 8 habis dibagi 8, maka habis dibagi 31 atau 31 membagi Sehingga benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Perhatikan bahwa Karena 8 habis dibagi 8, maka juga habis dibagi 8. Karena habis dibagi 8, maka juga habis dibagi 8. Dengan demikian, didapat bahwa 8 membagi atau bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Maka, benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika. Perhatikan setiap pernyataan pada pilihan jawaban. Pilihan A: “ 39 membagi ” Perhatikan bahwa 39 = 31 + 8 dan Pernyataan 31 membagi dan 8 membagi , tidak menjamin 31 + 8 juga membagi Maka, pilihan A belum pasti bernilai benar. Pilihan B: “248 membagi ” Perhatikan bahwa 248 = 31 × 8 dan Pernyataan 31 membagi dan 8 membagi , tidak menjamin 31 × 8 juga membagi . Maka, pilihan B belum pasti bernilai benar. Pilihan C: “ membagi 4” Perhatikan bahwa 8 membagi Karena 4 adalah faktor dari 8, maka 4 juga membagi Akibatnya, 4 juga membagi , tetapi belum tentu berlaku membagi 4. Maka, pilihan C belum pasti bernilai benar. Pilihan D: “ adalah pembagi 2” Perhatikan bahwa 8 membagi Karena 2 adalah faktor dari 8, maka 4 juga membagi ,tetapi belum tentu berlaku membagi 2. Maka, pilihan D belum pasti bernilai benar. Pilihan E: “62 adalah pembagi ” Perhatikan bahwa 62 = 31 × 2 dan Perhatikan bahwa 8 membagi .Karena 2 adalah faktor dari 8, maka 2 membagi . Karena 31 membagi dan 2 membagi ,maka berlaku 31 × 2 membagi atau 62 adalah pembagi Maka, pilihan E bernilai benar. Jadi, jawaban yang tepat adalah E.