Pertanyaan

Tunjukkan bahwa garis 2 x − 3 y + 26 = 0 adalah garis tangen lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 104 = 0 . Lalu, tentukan persamaandiameter lingkaran yang melalui titiksinggung di atas.

Tunjukkan bahwa garis $2 x - 3 y + 26 = 0$ adalah garis tangen lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 104 = 0$ . Lalu, tentukan persamaan diameter lingkaran yang melalui titik singgung di atas.

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti garis 2 x − 3 y + 26 = 0 adalah tangen lingkaran tersebut dan persamaan diameternya adalah 4 x − 6 y − 26 = 0 .

terbukti garis

2 x - 3 y + 26 = 0

adalah tangen lingkaran tersebut dan persamaan diameternya adalah

4 x - 6 y - 26 = 0

Pembahasan

Ingat rumus jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berikut: r = d = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C Dan titik pusat lingkaran di atas berikut: P ( x 1 , y 1 ) = P ( − 2 A , − 2 B ) Rumus jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dengan garis singgung a x + b y + c = 0 berikut: r = d = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ Diketahui: persamaan garis 2 x − 3 y + 26 = 0 . persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 104 = 0 . Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut: r = = = = = 4 1 ( − 4 ) 2 + 4 1 6 2 + 104 4 1 ⋅ 16 + 4 1 ⋅ 37 + 104 4 + 9 + 104 117 3 13 Dengan titik pusat sebagai berikut: P ( x 1 , y 1 ) = = P ( − 2 ( − 4 ) , − 2 6 ) P ( 2 , − 3 ) Sehingga jari-jari jika garis 2 x − 3 y + 26 = 0 menyinggung lingkaran tersebut sebagai berikut: d = = = = = = = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ ∣ ∣ 2 2 + ( − 3 ) 2 2 ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ ( − 3 ) + 26 ∣ ∣ ∣ ∣ 4 + 9 4 + 9 + 26 ∣ ∣ ∣ ∣ 13 39 ∣ ∣ 13 39 × 13 13 13 39 13 3 13 Sehingga persamaan diameternya dapat dinyatakan sebagai berikut: 2 × d 6 13 78 0 0 = = = = = = = = 2 × ∣ ∣ a 2 + b 2 a x + b y + c ∣ ∣ 2 × ∣ ∣ 2 2 + ( − 3 ) 2 2 x − 3 y + 26 ∣ ∣ 2 × ∣ ∣ 13 2 x − 3 y + 26 ∣ ∣ × 13 13 2 × ∣ ∣ 13 13 ( 2 x − 3 y ) + 2 13 ∣ ∣ 13 4 13 x − 13 6 13 y + 4 13 4 x − 6 y + 52 4 x − 6 y + 52 − 78 4 x − 6 y − 26 Dengan demikian, terbukti garis 2 x − 3 y + 26 = 0 adalah tangen lingkaran tersebut dan persamaan diameternya adalah 4 x − 6 y − 26 = 0 .

Ingat rumus jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berikut:

$r = d = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$

Dan titik pusat lingkaran di atas berikut:

$P (x_{1}, y_{1}) = P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$

Rumus jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dengan garis singgung $a x + b y + c = 0$ berikut:

$r = d = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣$

Diketahui:

persamaan garis $2 x - 3 y + 26 = 0$ .
persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 104 = 0$ .

Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:

$r = = = = = \frac{1}{4} (- 4)^{2} + \frac{1}{4} 6^{2} + 104 \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 37 + 104 4 + 9 + 104 117313$

Dengan titik pusat sebagai berikut:

$P (x_{1}, y_{1}) = = P (- \frac{( - 4 )}{2}, - \frac{6}{2}) P (2, - 3)$

Sehingga jari-jari jika garis $2 x - 3 y + 26 = 0$ menyinggung lingkaran tersebut sebagai berikut:

$d = = = = = = = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot 2 + ( - 3 ) \cdot ( - 3 ) + 26}{2 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{4 + 9 + 26}{4 + 9} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{39}{13} ∣ ∣ \frac{39}{13} \times \frac{13}{13} \frac{39}{13} 13 313$

Sehingga persamaan diameternya dapat dinyatakan sebagai berikut:

$2 \times d 6137800 = = = = = = = = 2 \times ∣ ∣ \frac{a x + b y + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ 2 \times ∣ ∣ \frac{2 x - 3 y + 26}{2 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}} ∣ ∣ 2 \times ∣ ∣ \frac{2 x - 3 y + 26}{13} ∣ ∣ \times \frac{13}{13} 2 \times ∣ ∣ \frac{13 ( 2 x - 3 y )}{13} + 213 ∣ ∣ \frac{4 13}{13} x - \frac{6 13}{13} y + 413 4 x - 6 y + 52 4 x - 6 y + 52 - 78 4 x - 6 y - 26$