Pertanyaan

Garis y = x + 1 menyinggung lingkaran L di titik yang absisnya 3 dan garis y = 2 x melalui pusat lingkaran L . Jari-jari lingkaran L adalah....

Garis $y = x + 1$ menyinggung lingkaran $L$ di titik yang absisnya $3$ dan garis $y = 2 x$ melalui pusat lingkaran $L$ . Jari-jari lingkaran $L$ adalah ....

$62$
$\frac{3}{2} 2$
$\frac{2}{3} 2$
$\frac{1}{2} 3$
$23$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Ingat! Lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan menyinggung garis A x + B y + C = 0 mempunyai jari-jari: r = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ Garis y = x + 1 menyinggung lingkaran L di titik yang absisnya 3 , artinya y = 3 + 1 = 4 sehingga titik singgung garis dan lingkaran L adalah ( 3 , 4 ) . Misal pusat lingkaran L adalah ( a , b ) dangaris y = 2 x melalui pusat lingkaran L , artinya jika kita substitusikan ( a , b ) ke y = 2 x maka akan memenuhi persamaan ( a , b ) ⇒ y = 2 x b = 2 a diperoleh pusat lingkaran adalah ( a , 2 a ) . Lingkaran yang berpusat di ( a , 2 a ) dan menyinggung garis y = x + 1 ⇔ x − y + 1 = 0 mempunyai jari-jari: r = = = = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 + ( − 1 ) 2 1 ⋅ a + ( − 1 ) 2 a + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 1 a − 2 a + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − a + 1 ∣ ∣ ......(*) Jari-jari lingkaran tersebutjarak titik pusat ( a , 2 a ) dengan titik ( 3 , 4 ) yaitu r = = = ( 3 − a ) 2 + ( 4 − 2 a ) 2 9 − 6 a + a 2 + 16 − 16 a + 4 a 2 5 a 2 − 22 a + 25 ......(**) Dari persamaan (*) dan (**) kita peroleh ∣ ∣ 2 − a + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − a + 1 ∣ ∣ 2 2 a 2 − 2 a + 1 a 2 − 2 a + 1 a 2 − 2 a + 1 0 0 0 = = = = = = = = 5 a 2 − 22 a + 25 5 a 2 − 22 a + 25 5 a 2 − 22 a + 25 2 ( 5 a 2 − 22 a + 25 ) 10 a 2 − 44 a + 50 10 a 2 − 44 a + 50 − a 2 + 2 a − 1 9 a 2 − 42 a + 49 ( 3 a − 7 ) 2 Berdasarkan persamaan di atas maka diperoleh nilai a = 3 7 . Dengan demikian, jari-jari lingkaran L adalah r = = = = = = = = = ∣ ∣ 2 − a + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 3 7 + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 3 7 + 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 3 4 ∣ ∣ 2 3 4 2 3 4 × 2 2 2 3 4 2 3 4 2 × 2 1 3 2 2 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Ingat!

Lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan menyinggung garis $A x + B y + C = 0$ mempunyai jari-jari:

$r = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣$

Garis $y = x + 1$ menyinggung lingkaran $L$ di titik yang absisnya $3$ , artinya $y = 3 + 1 = 4$ sehingga titik singgung garis dan lingkaran $L$ adalah $(3, 4)$ .

Misal pusat lingkaran $L$ adalah $(a, b)$ dan garis $y = 2 x$ melalui pusat lingkaran $L$ , artinya jika kita substitusikan $(a, b)$ ke $y = 2 x$ maka akan memenuhi persamaan

$(a, b) \Rightarrow y = 2 x b = 2 a$

diperoleh pusat lingkaran adalah $(a, 2 a)$ .

Lingkaran yang berpusat di $(a, 2 a)$ dan menyinggung garis $y = x + 1 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0$ mempunyai jari-jari:

$r = = = = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{1 \cdot a + ( - 1 ) 2 a + 1}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{a - 2 a + 1}{1 + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- a + 1}{2} ∣ ∣$ ......(*)

Jari-jari lingkaran tersebut jarak titik pusat $(a, 2 a)$ dengan titik $(3, 4)$ yaitu

$r = = = (3 - a)^{2} + (4 - 2 a)^{2} 9 - 6 a + a^{2} + 16 - 16 a + 4 a^{2} 5 a^{2} - 22 a + 25$ ......(**)

Dari persamaan (*) dan (**) kita peroleh

$∣ ∣ \frac{- a + 1}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- a + 1}{2} ∣ ∣^{2} \frac{a ^{2} - 2 a + 1}{2} a^{2} - 2 a + 1 a^{2} - 2 a + 1 000 = = = = = = = = 5 a^{2} - 22 a + 25 5 a^{2} - 22 a + 25 5 a^{2} - 22 a + 25 2 (5 a^{2} - 22 a + 25) 10 a^{2} - 44 a + 50 10 a^{2} - 44 a + 50 - a^{2} + 2 a - 1 9 a^{2} - 42 a + 49 (3 a - 7)^{2}$

Berdasarkan persamaan di atas maka diperoleh nilai $a = \frac{7}{3}$ .

Dengan demikian, jari-jari lingkaran $L$ adalah

$r = = = = = = = = = ∣ ∣ \frac{- a + 1}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- \frac{7}{3} + 1}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- \frac{7}{3} + \frac{3}{3}}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- \frac{4}{3}}{2} ∣ ∣ \frac{\frac{4}{3}}{2} \frac{\frac{4}{3}}{2} \times \frac{2}{2} \frac{\frac{4}{3} 2}{2} \frac{4}{3} 2 \times \frac{1}{2} \frac{2}{3} 2$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (6 rating)

Pertanyaan serupa

Tunjukkan bahwa garis 2 x − 3 y + 26 = 0 adalah garis tangen lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 104 = 0 . Lalu, tentukan persamaandiameter lingkaran yang melalui titiksinggung di atas.

0.0

Jawaban terverifikasi

Tunjukkan bahwa garis 2 x − 3 y + 26 = 0 adalah garis tangen lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 104 = 0 . Lalu, tentukan persamaandiameter lingkaran yang melalui titiksinggung di atas.

0.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran dengan pusat P (2,3) dan menyinggung garis 4 x + 3 y + 8 = 0 adalah …

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran dengan pusat P (2,3) dan menyinggung garis 4 x + 3 y + 8 = 0 adalah …

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang berpusat di ( 1 , 3 ) dan menyinggung garis y = x adalah...

4.7

Jawaban terverifikasi