Pertanyaan

Tunjukkan bahwa: sin A + sin ( A + 3 B ) + sin ( A + 5 B ) + sin ( A + 8 B ) = 4 sin ( A + 4 B ) cos 2 3 B cos 2 5 B

Tunjukkan bahwa:

$sin A + sin (A + 3 B) + sin (A + 5 B) + sin (A + 8 B) = 4 sin (A + 4 B) cos \frac{3}{2} B cos \frac{5}{2} B$

W. Wati

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat rumus jumlah dan selisihtrigonometri berikut ini: sin A + sin B = 2 sin 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh hasil: = = = = = = = = = = = sin A + sin ( A + 3 B ) + sin ( A + 5 B ) + sin ( A + 8 B ) ( sin ( A + 3 B ) + sin ( A + 5 B ) ) + ( sin ( A + 8 B ) + sin A ) 2 sin 2 1 ( ( A + 3 B ) + ( A + 5 B ) ) cos 2 1 ( ( A + 3 B ) − ( A + 5 B ) ) + 2 sin 2 1 ( ( A + 8 B ) + A ) cos 2 1 ( ( A + 8 B ) − A ) 2 sin 2 1 ( 2 A + 8 B ) cos 2 1 ( − 2 B ) + 2 sin 2 1 ( 2 A + 8 B ) cos 2 1 ( 8 B ) 2 sin ( A + 4 B ) cos ( − B ) + 2 sin ( A + 4 B ) cos ( 4 B ) 2 sin ( A + 4 B ) cos B + 2 sin ( A + 4 B ) cos 4 B 2 sin ( A + 4 B ) ( cos B + cos 4 B ) 2 sin ( A + 4 B ) ( 2 cos 2 1 ( B + 4 B ) cos 2 1 ( B − 4 B ) ) 2 sin ( A + 4 B ) ( 2 cos 2 1 ( 5 B ) cos 2 1 ( − 3 B ) ) 4 sin ( A + 4 B ) cos 2 5 B cos ( − 2 3 B ) 4 sin ( A + 4 B ) cos 2 5 B cos 2 3 B 4 sin ( A + 4 B ) cos 2 3 B cos 2 5 B Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sin A + sin ( A + 3 B ) + sin ( A + 5 B ) + sin ( A + 8 B ) = 4 sin ( A + 4 B ) cos 2 3 B cos 2 5 B .

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

$sin A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh hasil:

$= = = = = = = = = = = sin A + sin (A + 3 B) + sin (A + 5 B) + sin (A + 8 B) (sin (A + 3 B) + sin (A + 5 B)) + (sin (A + 8 B) + sin A) 2 sin \frac{1}{2} ((A + 3 B) + (A + 5 B)) cos \frac{1}{2} ((A + 3 B) - (A + 5 B)) + 2 sin \frac{1}{2} ((A + 8 B) + A) cos \frac{1}{2} ((A + 8 B) - A) 2 sin \frac{1}{2} (2 A + 8 B) cos \frac{1}{2} (- 2 B) + 2 sin \frac{1}{2} (2 A + 8 B) cos \frac{1}{2} (8 B) 2 sin (A + 4 B) cos (- B) + 2 sin (A + 4 B) cos (4 B) 2 sin (A + 4 B) cos B + 2 sin (A + 4 B) cos 4 B 2 sin (A + 4 B) (cos B + cos 4 B) 2 sin (A + 4 B) (2 cos \frac{1}{2} (B + 4 B) cos \frac{1}{2} (B - 4 B)) 2 sin (A + 4 B) (2 cos \frac{1}{2} (5 B) cos \frac{1}{2} (- 3 B)) 4 sin (A + 4 B) cos \frac{5}{2} B cos (- \frac{3}{2} B) 4 sin (A + 4 B) cos \frac{5}{2} B cos \frac{3}{2} B 4 sin (A + 4 B) cos \frac{3}{2} B cos \frac{5}{2} B$