Roboguru

Tentukanlah batasan nilai dari  untuk nilai  yang real.

Pertanyaan

Tentukanlah batasan nilai dari fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction untuk nilai x yang real.

Pembahasan Video:

Pembahasan Soal:

Gambar pada diagram kartesius untuk mengetahui asimtot dan titik yang dilalui grafik fungsinya

Cari titik potong terhadap sumbu-X

y=x2+1x0=x2+1x0=x(x,y)=(0,0)

Titik (0,0) juga menandakan potong grafik terhadap sumbu-Y

 

Fungsi y=x2+1x tidak memiliki asimtot tegak karena x2+1=0

 

Asimtot datar

y===limxf(x)limxx2+1x0

 

Cari beberapa titik yang mewakili fungsi

Sehingga grafiknya adalah

Dari penjabaran di atas diperoleh bahwa asimtot datar y=0 tidak hanya didekati tetapi juga dilewati oleh grafik, sehingga y=0 juga merupakan nilai dari fungsi. Serta dari gambar  terihat bahwa grafik memiliki titik stasioner.

Ingat!

Turunan dari fungsi f open parentheses x close parentheses equals a x to the power of n adalah y apostrophe equals a n x to the power of n minus 1 end exponent.

Kita cari turunan dari fungsi f open parentheses x close parentheses terlebih dahulu dengan menggunakan rumus:

f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator u open parentheses x close parentheses over denominator v open parentheses x close parentheses end fraction f apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator u apostrophe open parentheses x close parentheses v open parentheses x close parentheses minus u open parentheses x close parentheses v apostrophe open parentheses x close parentheses over denominator open parentheses v open parentheses x close parentheses close parentheses squared end fraction

Diketahui fungsi y equals fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction. Misal u open parentheses x close parentheses equals x, maka u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 1 dan v open parentheses x close parentheses equals x squared plus 1, maka v apostrophe open parentheses x close parentheses equals 2 x. Dengan demikian, turunan dari fungsi fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction tersebut adalah

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe end cell equals cell fraction numerator 1 open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus x open parentheses 2 x close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 minus x squared over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 1 plus x close parentheses open parentheses 1 minus x close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell end table

Selanjutnya akan dicari titik stasionernya

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe end cell equals 0 row cell fraction numerator open parentheses 1 plus x close parentheses open parentheses 1 minus x close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell equals 0 end table

Penyebut tidak pernah bernilai nol, maka  pembilang yang harus bernilai nol agar persamaan bernilai benar.

open parentheses 1 plus x close parentheses open parentheses 1 minus x close parentheses equals 0 x equals 1 space atau space x equals negative 1

 

Untuk x equals negative 1, diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses negative 1 close parentheses squared plus 1 end fraction end cell row y equals cell negative 1 half end cell end table

Untuk x equals 1, diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y open parentheses 1 close parentheses end cell equals cell fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses 1 close parentheses squared plus 1 end fraction end cell row y equals cell 1 half end cell end table

Maka nilai y berada di antara negative 1 half hingga 1 half.

Jadi,  batasan nilai dari fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction untuk nilai x yang real yaitu negative 1 half less or equal than fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction less or equal than 1 half.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Puspita

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi rasional  adalah ....

Pembahasan Soal:

Asimtot tegak merupakan suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung yang sejajar dengan sumbu Y, dapat ditentukan dengan menentukan lawan dari domain fungsi rasional.

Asimtot datar merupakan suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung yang sejajar dengan sumbu X, dapat ditentukan dengan menentukan lawan dari range fungsi rasional.

Akan ditentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi rasional f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 5 minus 4 x over denominator 3 x plus 6 end fraction.

Agar lebih mudah tentukan domain dan range dari fungsi rasional tersebut.

*Menentukan domain dari f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 5 minus 4 x over denominator 3 x plus 6 end fraction.

Domain dari fungsi rasional adalah semua bilangan real, kecuali pembuat nol dari penyebut sehingga diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell 3 x plus 6 end cell not equal to 0 row cell 3 x end cell not equal to cell negative 6 end cell row x not equal to cell fraction numerator negative 6 over denominator 3 end fraction end cell row x not equal to cell negative 2 end cell end table

Diperoleh domainnya adalah open curly brackets x vertical line x not equal to negative 2 comma space x element of straight real numbers close curly brackets, karena asimtot tegak adalah lawan dari domain, sehingga asimtot tegaknya adalah x equals negative 2.

*Menentukan range dari f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 5 minus 4 x over denominator 3 x plus 6 end fraction.

Range dari fungsi rasional adalah semua output y. Hal ini berarti harus mengubah x dalam y.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses equals y end cell equals cell fraction numerator 5 minus 4 x over denominator 3 x plus 6 end fraction end cell row cell y open parentheses 3 x plus 6 close parentheses end cell equals cell 5 minus 4 x end cell row cell 3 x y plus 6 y end cell equals cell 5 minus 4 x end cell row cell 3 x y plus 4 x end cell equals cell 5 minus 6 y end cell row cell x open parentheses 3 y plus 4 close parentheses end cell equals cell 5 minus 6 y end cell row x equals cell fraction numerator 5 minus 6 y over denominator 3 y plus 4 end fraction end cell end table

Bentuk x equals fraction numerator 5 minus 6 y over denominator 3 y plus 4 end fraction akan terdefinisi apabila penyebut tidak nol, yaitu 

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell 3 y plus 4 end cell not equal to 0 row cell 3 y end cell not equal to cell negative 4 end cell row y not equal to cell negative 4 over 3 end cell end table

Diperoleh rangenya adalah open curly brackets y vertical line y not equal to negative 4 over 3 comma space y element of straight real numbers close curly brackets, karena asimtot datar adalah lawan dari range, sehingga asimtot datarnya adalah y equals negative 4 over 3.

Sehingga diperoleh asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi rasional f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 5 minus 4 x over denominator 3 x plus 6 end fraction adalah x equals negative 2 dan y equals negative 4 over 3.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

0

Roboguru

Perhatikan gambar berikut. Daerah hasil grafik fungsi  adalah ...

Pembahasan Soal:

Perhatikan penjabaran berikut ini.

Ingat, fungsi rasional:

begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator g open parentheses x close parentheses over denominator h open parentheses x close parentheses end fraction comma space h open parentheses x close parentheses not equal to 0 end style

Tampak pada grafik bahwa grafik menuju atau mendekati begin mathsize 14px style y equals 2 end style untuk undefined menuju atau mendekati menuju positif undefined tak hingga dan negatif undefined tak hingga. Maka garis begin mathsize 14px style y equals 2 end style itulah dinamakan asimtot datar. Asimtot adalah suatu garis yang terus didekati oleh suatu kurva (garis lengkung) sampai jauh tak hingga. Maka daerah hasil dari grafik fungsi begin mathsize 14px style y equals f open parentheses x close parentheses end style adalah semua undefined namun begin mathsize 14px style y not equal to 2 end style atau begin mathsize 14px style open curly brackets y vertical line y not equal to 2 comma space y element of straight real numbers close curly brackets end style.

Jadi, daerah hasil grafik fungsi begin mathsize 14px style y equals f open parentheses x close parentheses end style adalah begin mathsize 14px style open curly brackets y vertical line y not equal to 2 comma space y element of straight real numbers close curly brackets end style.

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

0

Roboguru

Daerah hasil fungsi rasional  adalah...

Pembahasan Soal:

begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator x plus 1 over denominator x minus 2 end fraction end style adalah fungsi rasional yang mempunyai asimtot datar yaitu:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell limit as x rightwards arrow infinity of f open parentheses x close parentheses end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator x plus 1 over denominator x minus 2 end fraction end cell row blank equals 1 end table end style

sehingga diperoleh asimtot datarnya begin mathsize 14px style y equals 1 end style.

Dengan demikian daerah hasil fungsi adalah {yy=1,yR}.

Oleh karena itu, tidak ada jawaban yang sesuai.

0

Roboguru

Daerah hasil grafik rasional  adalah ...

Pembahasan Soal:

f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 6 minus 3 x over denominator x plus 2 end fraction comma x not equal to negative 2

Menentukan range dari f(x)=x+263x.

Range dari fungsi rasional adalah semua output y. Hal ini berarti harus mengubah x dalam y.

f(x)=yy(x+2)xy+2yxy+3xx(y+3)x======x+263x63x63x62y62yy+362y

Bentuk x=y+362y akan terdefinisi apabila penyebut tidak nol, yaitu 

y+3y==03

Diperoleh rangenya adalah {yy=3,yR}.

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

0

Roboguru

Diketahui fungsi . Tentukan: d. Gambarlah grafiknya

Pembahasan Soal:

Sketsa grafik dari fungsi : begin mathsize 14px style y equals fraction numerator negative 3 x plus 6 over denominator x minus 1 end fraction end style

1. Titik potong sumbu, ketika

y equals 0 0 equals fraction numerator x minus 1 over denominator x minus 2 end fraction 0 equals x minus 1 x equals 1

 

x equals 0 y equals fraction numerator x minus 1 over denominator x minus 2 end fraction y equals fraction numerator 0 minus 1 over denominator 0 minus 2 end fraction y equals 1 half

   begin mathsize 14px style x equals 0 rightwards arrow y equals negative 6 open parentheses 2 comma 0 close parentheses space dan space open parentheses 0 comma negative 6 close parentheses end style 

2. Asimtot tegak ketika 

begin mathsize 14px style x minus 1 equals 0 rightwards double arrow x equals 1 end style 

3. Asimtot datar ketika 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator x minus 1 over denominator x minus 2 end fraction end cell row y equals 1 end table

 

4. titik potong lain

x negative 1 0 3 4
y 2 over 3 1 half 2 3 over 2

Grafik fungsi rasional tersebut adalah sebagai berikut.


0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved