Pertanyaan

Tentukanlah batasan nilai dari x 2 + 1 x untuk nilai x yang real.

Tentukanlah batasan nilai dari $\frac{x}{x ^{2} + 1}$ untuk nilai $x$ yang real.

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

batasan nilai dari untuk nilai yang real yaitu .

batasan nilai dari $fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction$ untuk nilai

yang real yaitu $negative 1 half less or equal than fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction less or equal than 1 half$ .

Pembahasan

Gambar pada diagram kartesius untuk mengetahui asimtot dan titik yang dilalui grafik fungsinya Cari titik potong terhadap sumbu-X y = x 2 + 1 x 0 = x 2 + 1 x 0 = x ( x , y ) = ( 0 , 0 ) Titik ( 0 , 0 ) juga menandakan potonggrafik terhadap sumbu-Y Fungsi y = x 2 + 1 x tidak memiliki asimtot tegak karena x 2 + 1  = 0 Asimtot datar y = = = lim x → ∞ f ( x ) lim x → ∞ x 2 + 1 x 0 Cari beberapa titik yang mewakili fungsi Sehingga grafiknya adalah Dari penjabaran di atasdiperoleh bahwa asimtot datar y = 0 tidak hanya didekati tetapi juga dilewati oleh grafik, sehingga y = 0 juga merupakan nilai dari fungsi. Serta dari gambarterihat bahwa grafik memiliki titik stasioner. Ingat! Turunan dari fungsi adalah . Kita cari turunan dari fungsi terlebih dahulu dengan menggunakan rumus: Diketahui fungsi . Misal , maka dan , maka . Dengan demikian, turunan dari fungsi tersebut adalah Selanjutnya akan dicari titik stasionernya Penyebut tidak pernah bernilai nol, maka pembilang yang harus bernilai nol agar persamaan bernilai benar. Untuk , diperoleh Untuk , diperoleh Maka nilai berada di antara hingga . Jadi, batasan nilai dari untuk nilai yang real yaitu .

Gambar pada diagram kartesius untuk mengetahui asimtot dan titik yang dilalui grafik fungsinya

Cari titik potong terhadap sumbu-X

$y = \frac{x}{x ^{2} + 1} 0 = \frac{x}{x ^{2} + 1} 0 = x (x, y) = (0, 0)$

Titik $(0, 0)$ juga menandakan potong grafik terhadap sumbu-Y

Fungsi $y = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ tidak memiliki asimtot tegak karena $x^{2} + 1 \neq = 0$

Asimtot datar

$y = = = lim_{x \to \infty} f (x) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x ^{2} + 1} 0$

Cari beberapa titik yang mewakili fungsi

Sehingga grafiknya adalah

Dari penjabaran di atas diperoleh bahwa asimtot datar $y = 0$ tidak hanya didekati tetapi juga dilewati oleh grafik, sehingga $y = 0$ juga merupakan nilai dari fungsi. Serta dari gambar terihat bahwa grafik memiliki titik stasioner.

Ingat!

Turunan dari fungsi f open parentheses x close parentheses equals a x to the power of n adalah y apostrophe equals a n x to the power of n minus 1 end exponent .

Kita cari turunan dari fungsi f open parentheses x close parentheses terlebih dahulu dengan menggunakan rumus:

$f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator u open parentheses x close parentheses over denominator v open parentheses x close parentheses end fraction f apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator u apostrophe open parentheses x close parentheses v open parentheses x close parentheses minus u open parentheses x close parentheses v apostrophe open parentheses x close parentheses over denominator open parentheses v open parentheses x close parentheses close parentheses squared end fraction$

Diketahui fungsi $y equals fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction$ . Misal u open parentheses x close parentheses equals x , maka u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 1 dan v open parentheses x close parentheses equals x squared plus 1 , maka v apostrophe open parentheses x close parentheses equals 2 x . Dengan demikian, turunan dari fungsi $fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction$ tersebut adalah

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe end cell equals cell fraction numerator 1 open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus x open parentheses 2 x close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 minus x squared over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 1 plus x close parentheses open parentheses 1 minus x close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell end table$

Selanjutnya akan dicari titik stasionernya

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe end cell equals 0 row cell fraction numerator open parentheses 1 plus x close parentheses open parentheses 1 minus x close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction end cell equals 0 end table$

Penyebut tidak pernah bernilai nol, maka pembilang yang harus bernilai nol agar persamaan bernilai benar.

open parentheses 1 plus x close parentheses open parentheses 1 minus x close parentheses equals 0 x equals 1 space atau space x equals negative 1

Untuk x equals negative 1 , diperoleh

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses negative 1 close parentheses squared plus 1 end fraction end cell row y equals cell negative 1 half end cell end table$

Untuk x equals 1 , diperoleh

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y open parentheses 1 close parentheses end cell equals cell fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses 1 close parentheses squared plus 1 end fraction end cell row y equals cell 1 half end cell end table$

Maka nilai berada di antara negative 1 half hingga 1 half .

Jadi, batasan nilai dari $fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction$ untuk nilai yang real yaitu $negative 1 half less or equal than fraction numerator x over denominator x squared plus 1 end fraction less or equal than 1 half$ .