Pertanyaan

Diketahui f : R → R dan fungsi rasional f ( x ) = x − 2 x 2 + 2 x + 3 .Jika D f = { x ∣ − 3 ≤ x ≤ 1 , x ∈ R } , daerah hasilnya adalah ...

Diketahui $f : R \to R$ dan fungsi rasional $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x - 2}$ . Jika $D_{f} = {x ∣ - 3 \leq x \leq 1, x \in R}$ , daerah hasilnya adalah ...

$R_{f} = {y ∣ - 6 \leq y \leq - \frac{3}{2}, y \in R}$
$R_{f} = {y ∣ - 6 \leq y \leq - \frac{2}{3}, y \in R}$
$R_{f} = {y ∣ - 6 \leq y \leq \frac{2}{3}, y \in R}$
$R_{f} = {y ∣ - 6 \leq y \leq \frac{3}{2}, y \in R}$
$R_{f} = {y ∣ - 6 \leq y \leq 6, y \in R}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

I. Kumaralalita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

tidak ada jawaban yang tepat.

Pembahasan

Diketahui f : R → R dan fungsi rasional f ( x ) = x − 2 x 2 + 2 x + 3 . Misalkan f ( x ) = y . Fungsi di atas dapat diubah dalam bentuk inversnya menjadi y y ( x − 2 ) y x − 2 y x 2 + 2 x + 3 − y x + 2 y x 2 + ( 2 − y ) x + ( 2 y + 3 ) = = = = = x − 2 x 2 + 2 x + 3 x 2 + 2 x + 3 x 2 + 2 x + 3 0 0 Berdasarkan bentuk umum fungsi kuadrat, nilai a = 1 , b = 2 − y , dan c = 2 y + 3 . Maka dapat dicari akar-akar dengan rumus kuadratik berikut, x 1 , 2 = = = = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 2 ⋅ 1 − ( 2 − y ) ± ( 2 − y ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2 y + 3 ) 2 ( y − 2 ) ± 4 − 4 y + y 2 − 8 y − 12 2 ( y − 2 ) ± y 2 − 12 y − 8 Nilai di dalam akar haruslah lebih dari nol, maka didapatkan y 2 − 12 y − 8 ≥ 0 y 1 , 2 = = = = = = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 2 ⋅ 1 − ( − 12 ) ± ( − 12 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 8 ) 2 12 ± 144 + 32 2 12 ± 176 2 12 ± 4 11 6 ± 2 11 ( y − ( 6 + 2 11 ) ) ( y − ( 6 − 2 11 ) ) ≥ 0 Dalam garis bilangan, didapatkan daerah penyelesaiannya adalah Asimtot tegak dari fungsi f ( x ) adalah x = 2 .Karena domain fungsi D f = { x ∣ − 3 ≤ x ≤ 1 , x ∈ R } , maka kurva terletak di bawah sumbu-X. Apabila disubstitusikan batas domain ke dalam fungsi: f ( 1 ) = = = 1 − 2 1 2 + 2 ( 1 ) + 3 − 1 1 + 2 + 3 − 6 f ( − 3 ) = = = − 3 − 2 ( − 3 ) 2 + 2 ( − 3 ) + 3 − 5 9 − 6 + 3 − 5 6 Nilai f ( − 3 ) = − 5 6 < 6 − 2 11 , maka y = − 3 bukan batas interval. Dengan demikian, daerah hasil dari fungsi tersebut adalah R f = { y ∣ − 6 ≤ y ≤ 6 − 2 11 , y ∈ R } . Oleh karena itu, tidak ada jawaban yang tepat.

Diketahui $f : R \to R$ dan fungsi rasional $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x - 2}$ .

Misalkan $f (x) = y$ . Fungsi di atas dapat diubah dalam bentuk inversnya menjadi

$y y (x - 2) y x - 2 y x^{2} + 2 x + 3 - y x + 2 y x^{2} + (2 - y) x + (2 y + 3) = = = = = \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x - 2} x^{2} + 2 x + 3 x^{2} + 2 x + 3 00$

Berdasarkan bentuk umum fungsi kuadrat, nilai $a = 1,$ $b = 2 - y,$ dan $c = 2 y + 3$ . Maka dapat dicari akar-akar dengan rumus kuadratik berikut,

$x_{1, 2} = = = = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} \frac{- ( 2 - y ) \pm ( 2 - y ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( 2 y + 3 )}{2 \cdot 1} \frac{( y - 2 ) \pm 4 - 4 y + y ^{2} - 8 y - 12}{2} \frac{( y - 2 ) \pm y ^{2} - 12 y - 8}{2}$

Nilai di dalam akar haruslah lebih dari nol, maka didapatkan

$y^{2} - 12 y - 8 \geq 0$
$y_{1, 2} = = = = = = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 8 )}{2 \cdot 1} \frac{12 \pm 144 + 32}{2} \frac{12 \pm 176}{2} \frac{12 \pm 4 11}{2} 6 \pm 211$

$(y - (6 + 211)) (y - (6 - 211)) \geq 0$

Dalam garis bilangan, didapatkan daerah penyelesaiannya adalah

Asimtot tegak dari fungsi $f (x)$ adalah $x = 2$ . Karena domain fungsi $D_{f} = {x ∣ - 3 \leq x \leq 1, x \in R}$ , maka kurva terletak di bawah sumbu-X.