Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 dan 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dengan pusat lingkaran terletak pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 .

Tentukan persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: $x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0$ dan $4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0$ dengan pusat lingkaran terletak pada garis $3 x + 4 y + 1 = 0$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 dan 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dengan pusat lingkaran terletak pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 adalah 20 x 2 + 20 y 2 − 12 x + 19 y + 103 = 0 .

persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran:

x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0

dan

4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0

dengan pusat lingkaran terletak pada garis

3 x + 4 y + 1 = 0

adalah

20 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 19 y + 103 = 0

Pembahasan

Misal persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 memiliki titik pusat di P 1 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dengan jari-jari r 3 = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 2 1 A 2 + B 2 − 4 C Perhatikan bahwa, x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 memiliki pusat di titik P 2 ( − 2 3 , 2 5 ) dengan jari-jari r 2 = = = = ( − 2 3 ) 2 + ( 2 5 ) 2 − 6 2 1 9 + 25 − 6 2 1 28 7 sedangkan lingkaran 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dapat dituliskan dengan x 2 + y 2 − 7 x + 4 29 = 0 , sehingga memiliki pusat di titik P 3 ( 2 7 , 0 ) dengan jari-jari r 3 = = = = ( 2 7 ) 2 + 0 2 − 4 29 2 1 49 − 29 2 1 20 5 Ingat bahwa dua lingkaran saling tegak lurus jika memenuhi syarat ( P 1 P 2 ) 2 = r 1 2 + r 2 2 maka ( P 1 P 2 ) 2 ( ( − 2 3 + 2 A ) 2 + ( 2 5 + 2 B ) 2 ) 4 9 − 6 A + A 2 + 4 25 + 10 B + B 2 9 − 6 A + 25 + 10 B 6 A − 10 B − 4 C 3 A − 5 B − 2 C = = = = = = r 1 2 + r 2 2 4 1 ( A 2 + B 2 − 4 C ) + 7 4 A 2 + B 2 − 4 C + 28 − 4 C + 28 6 3 dan ( P 1 P 3 ) 2 ( ( 2 7 + 2 A ) 2 + ( 0 + 2 B ) 2 ) 4 49 + 14 A + A 2 + 4 B 2 49 + 14 A 14 A + 4 C = = = = = r 1 2 + r 2 2 4 1 ( A 2 + B 2 − 4 C ) + 5 4 A 2 + B 2 − 4 C + 20 − 4 C + 20 − 29 Selain itu, diketahui pusat lingkaran berada pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 , sehingga 3 ( − 2 A ) + 4 ( − 2 B ) + 1 − 2 3 A − 2 B + 1 − 3 A − 4 B 3 A + 4 B = = = = 0 0 − 2 2 Menggunakan metode eliminasi didapatkan 6 A − 10 B − 4 C 20 A − 10 B 80 A − 40 B 120 A A 3 ( − 5 3 ) + 4 B − 9 + 20 B 20 B B 14 ( − 5 3 ) + 4 C − 42 + 20 C 20 C C = = = = = = = = = = = = = 6 14 A + 4 C = − 29 + − 23 − 92 30 A + 40 B = 20 + − 72 − 5 3 2 10 19 20 19 − 29 − 145 103 20 103 Jadi persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 − 5 3 x + 20 19 y + 20 103 20 x 2 + 20 y 2 − 12 x + 19 y + 103 = = 0 0 Dengan demikian,persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 dan 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dengan pusat lingkaran terletak pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 adalah 20 x 2 + 20 y 2 − 12 x + 19 y + 103 = 0 .

Misal persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ memiliki titik pusat di $P_{1} (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dengan jari-jari

$r_{3} = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{2} A^{2} + B^{2} - 4 C$

Perhatikan bahwa, $x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0$ memiliki pusat di titik $P_{2} (- \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ dengan jari-jari

$r_{2} = = = = (- \frac{3}{2})^{2} + (\frac{5}{2})^{2} - 6 \frac{1}{2} 9 + 25 - 6 \frac{1}{2} 28 7$

sedangkan lingkaran $4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0$ dapat dituliskan dengan $x^{2} + y^{2} - 7 x + \frac{29}{4} = 0$ , sehingga memiliki pusat di titik $P_{3} (\frac{7}{2}, 0)$ dengan jari-jari

$r_{3} = = = = (\frac{7}{2})^{2} + 0^{2} - \frac{29}{4} \frac{1}{2} 49 - 29 \frac{1}{2} 20 5$

Ingat bahwa dua lingkaran saling tegak lurus jika memenuhi syarat

$(P_{1} P_{2})^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$

maka

$(P_{1} P_{2})^{2} ((- \frac{3}{2} + \frac{A}{2})^{2} + (\frac{5}{2} + \frac{B}{2})^{2}) \frac{9 - 6 A + A ^{2}}{4} + \frac{25 + 10 B + B ^{2}}{4} 9 - 6 A + 25 + 10 B 6 A - 10 B - 4 C 3 A - 5 B - 2 C = = = = = = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \frac{1}{4} (A^{2} + B^{2} - 4 C) + 7 \frac{A ^{2} + B ^{2} - 4 C + 28}{4} - 4 C + 28 63$

dan

$(P_{1} P_{3})^{2} ((\frac{7}{2} + \frac{A}{2})^{2} + (0 + \frac{B}{2})^{2}) \frac{49 + 14 A + A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} 49 + 14 A 14 A + 4 C = = = = = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \frac{1}{4} (A^{2} + B^{2} - 4 C) + 5 \frac{A ^{2} + B ^{2} - 4 C + 20}{4} - 4 C + 20 - 29$

Selain itu, diketahui pusat lingkaran berada pada garis $3 x + 4 y + 1 = 0$ , sehingga

$3 (- \frac{A}{2}) + 4 (- \frac{B}{2}) + 1 - \frac{3 A}{2} - 2 B + 1 - 3 A - 4 B 3 A + 4 B = = = = 00 - 2 2$

Menggunakan metode eliminasi didapatkan

$6 A - 10 B - 4 C 20 A - 10 B 80 A - 40 B 120 A A 3 (- \frac{3}{5}) + 4 B - 9 + 20 B 20 B B 14 (- \frac{3}{5}) + 4 C - 42 + 20 C 20 C C = = = = = = = = = = = = = 6 \underline{14 A + 4 C = - 29} + - 23 - 92 \underline{30 A + 40 B = 20} + - 72 - \frac{3}{5} 21019 \frac{19}{20} - 29 - 145 103 \frac{103}{20}$

Jadi persamaan lingkarannya adalah

$x^{2} + y^{2} - \frac{3}{5} x + \frac{19}{20} y + \frac{103}{20} 20 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 19 y + 103 = = 00$

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: $x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0$ dan $4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0$ dengan pusat lingkaran terletak pada garis $3 x + 4 y + 1 = 0$ adalah $20 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 19 y + 103 = 0$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.3 (3 rating)

siapa aja

Pembahasan terpotong

Pertanyaan serupa

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Keliling irisan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 dan x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 6 = 0 adalah ….

0.0

Jawaban terverifikasi