Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 dan 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dengan pusat lingkaran terletak pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 .

Tentukan persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: $x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0$ dan $4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0$ dengan pusat lingkaran terletak pada garis $3 x + 4 y + 1 = 0$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 dan 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dengan pusat lingkaran terletak pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 adalah 20 x 2 + 20 y 2 − 12 x + 19 y + 103 = 0 .

persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran:

x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0

dan

4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0

dengan pusat lingkaran terletak pada garis

3 x + 4 y + 1 = 0

adalah

20 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 19 y + 103 = 0

Pembahasan

Misal persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 memiliki titik pusat di P 1 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dengan jari-jari r 3 = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 2 1 A 2 + B 2 − 4 C Perhatikan bahwa, x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 memiliki pusat di titik P 2 ( − 2 3 , 2 5 ) dengan jari-jari r 2 = = = = ( − 2 3 ) 2 + ( 2 5 ) 2 − 6 2 1 9 + 25 − 6 2 1 28 7 sedangkan lingkaran 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dapat dituliskan dengan x 2 + y 2 − 7 x + 4 29 = 0 , sehingga memiliki pusat di titik P 3 ( 2 7 , 0 ) dengan jari-jari r 3 = = = = ( 2 7 ) 2 + 0 2 − 4 29 2 1 49 − 29 2 1 20 5 Ingat bahwa dua lingkaran saling tegak lurus jika memenuhi syarat ( P 1 P 2 ) 2 = r 1 2 + r 2 2 maka ( P 1 P 2 ) 2 ( ( − 2 3 + 2 A ) 2 + ( 2 5 + 2 B ) 2 ) 4 9 − 6 A + A 2 + 4 25 + 10 B + B 2 9 − 6 A + 25 + 10 B 6 A − 10 B − 4 C 3 A − 5 B − 2 C = = = = = = r 1 2 + r 2 2 4 1 ( A 2 + B 2 − 4 C ) + 7 4 A 2 + B 2 − 4 C + 28 − 4 C + 28 6 3 dan ( P 1 P 3 ) 2 ( ( 2 7 + 2 A ) 2 + ( 0 + 2 B ) 2 ) 4 49 + 14 A + A 2 + 4 B 2 49 + 14 A 14 A + 4 C = = = = = r 1 2 + r 2 2 4 1 ( A 2 + B 2 − 4 C ) + 5 4 A 2 + B 2 − 4 C + 20 − 4 C + 20 − 29 Selain itu, diketahui pusat lingkaran berada pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 , sehingga 3 ( − 2 A ) + 4 ( − 2 B ) + 1 − 2 3 A − 2 B + 1 − 3 A − 4 B 3 A + 4 B = = = = 0 0 − 2 2 Menggunakan metode eliminasi didapatkan 6 A − 10 B − 4 C 20 A − 10 B 80 A − 40 B 120 A A 3 ( − 5 3 ) + 4 B − 9 + 20 B 20 B B 14 ( − 5 3 ) + 4 C − 42 + 20 C 20 C C = = = = = = = = = = = = = 6 14 A + 4 C = − 29 + − 23 − 92 30 A + 40 B = 20 + − 72 − 5 3 2 10 19 20 19 − 29 − 145 103 20 103 Jadi persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 − 5 3 x + 20 19 y + 20 103 20 x 2 + 20 y 2 − 12 x + 19 y + 103 = = 0 0 Dengan demikian,persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: x 2 + y 2 + 3 x − 5 y + 6 = 0 dan 4 x 2 + 4 y 2 − 28 x + 29 = 0 dengan pusat lingkaran terletak pada garis 3 x + 4 y + 1 = 0 adalah 20 x 2 + 20 y 2 − 12 x + 19 y + 103 = 0 .

Misal persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ memiliki titik pusat di $P_{1} (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dengan jari-jari

$r_{3} = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{2} A^{2} + B^{2} - 4 C$

Perhatikan bahwa, $x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0$ memiliki pusat di titik $P_{2} (- \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ dengan jari-jari

$r_{2} = = = = (- \frac{3}{2})^{2} + (\frac{5}{2})^{2} - 6 \frac{1}{2} 9 + 25 - 6 \frac{1}{2} 28 7$

sedangkan lingkaran $4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0$ dapat dituliskan dengan $x^{2} + y^{2} - 7 x + \frac{29}{4} = 0$ , sehingga memiliki pusat di titik $P_{3} (\frac{7}{2}, 0)$ dengan jari-jari

$r_{3} = = = = (\frac{7}{2})^{2} + 0^{2} - \frac{29}{4} \frac{1}{2} 49 - 29 \frac{1}{2} 20 5$

Ingat bahwa dua lingkaran saling tegak lurus jika memenuhi syarat

$(P_{1} P_{2})^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$

maka

$(P_{1} P_{2})^{2} ((- \frac{3}{2} + \frac{A}{2})^{2} + (\frac{5}{2} + \frac{B}{2})^{2}) \frac{9 - 6 A + A ^{2}}{4} + \frac{25 + 10 B + B ^{2}}{4} 9 - 6 A + 25 + 10 B 6 A - 10 B - 4 C 3 A - 5 B - 2 C = = = = = = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \frac{1}{4} (A^{2} + B^{2} - 4 C) + 7 \frac{A ^{2} + B ^{2} - 4 C + 28}{4} - 4 C + 28 63$

dan

$(P_{1} P_{3})^{2} ((\frac{7}{2} + \frac{A}{2})^{2} + (0 + \frac{B}{2})^{2}) \frac{49 + 14 A + A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} 49 + 14 A 14 A + 4 C = = = = = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \frac{1}{4} (A^{2} + B^{2} - 4 C) + 5 \frac{A ^{2} + B ^{2} - 4 C + 20}{4} - 4 C + 20 - 29$

Selain itu, diketahui pusat lingkaran berada pada garis $3 x + 4 y + 1 = 0$ , sehingga

$3 (- \frac{A}{2}) + 4 (- \frac{B}{2}) + 1 - \frac{3 A}{2} - 2 B + 1 - 3 A - 4 B 3 A + 4 B = = = = 00 - 2 2$

Menggunakan metode eliminasi didapatkan

$6 A - 10 B - 4 C 20 A - 10 B 80 A - 40 B 120 A A 3 (- \frac{3}{5}) + 4 B - 9 + 20 B 20 B B 14 (- \frac{3}{5}) + 4 C - 42 + 20 C 20 C C = = = = = = = = = = = = = 6 \underline{14 A + 4 C = - 29} + - 23 - 92 \underline{30 A + 40 B = 20} + - 72 - \frac{3}{5} 21019 \frac{19}{20} - 29 - 145 103 \frac{103}{20}$

Jadi persamaan lingkarannya adalah

$x^{2} + y^{2} - \frac{3}{5} x + \frac{19}{20} y + \frac{103}{20} 20 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 19 y + 103 = = 00$

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap kedua lingkaran: $x^{2} + y^{2} + 3 x - 5 y + 6 = 0$ dan $4 x^{2} + 4 y^{2} - 28 x + 29 = 0$ dengan pusat lingkaran terletak pada garis $3 x + 4 y + 1 = 0$ adalah $20 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 19 y + 103 = 0$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.3 (3 rating)

siapa aja

Pembahasan terpotong

Pertanyaan serupa

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Keliling irisan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 dan x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 6 = 0 adalah ….

0.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS