Roboguru

Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi  yang didefinisikan dengan  dan tentukan jenis nilai stasioner tersebut!

Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f yang didefinisikan dengan f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 3 x dan tentukan jenis nilai stasioner tersebut!

Pembahasan Soal:

Perhatikan perhitungan berikut.

Ingat:

syarat stasioner

f open parentheses x close parentheses equals y rightwards arrow f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0

turunan pada fungsi

f open parentheses x close parentheses equals x to the power of n rightwards arrow f apostrophe open parentheses x close parentheses equals n x to the power of n minus 1 end exponent

Maka:

Fungsi awal yaitu:

f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 3 x

Turunan pertama yaitu:

f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 3 x squared minus 3

Syarata stasioner f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 maka:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell 3 x squared minus 3 end cell equals 0 row cell 3 x squared end cell equals 3 row cell x squared end cell equals cell 3 over 3 end cell row cell x squared end cell equals 1 row x equals cell plus-or-minus square root of 1 end cell row x equals cell plus-or-minus 1 end cell end table

Didapatkan x equals 1 atau x equals negative 1.

Menentukan nilai stasionernya, substitusikan x ke fungsi awal.

Untuk x equals 1.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses 1 close parentheses end cell equals cell 1 cubed minus 3 times 1 end cell row blank equals cell 1 minus 3 end cell row blank equals cell negative 2 end cell end table

Didapatkan titik stasionernya yaitu open parentheses 1 comma space minus 2 close parentheses.

Untuk x equals negative 1.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 1 close parentheses cubed minus 3 times open parentheses negative 1 close parentheses end cell row blank equals cell negative 1 plus 3 end cell row blank equals 2 end table

Didapatkan titik stasionernya yaitu open parentheses negative 1 comma space 2 close parentheses.

Menentukan jenis stasioner.

Misalkan open parentheses c comma space f open parentheses c close parentheses close parentheses adalah titik stasioner, maka kita akan uji titik di sebelah kiri titik stasioner open parentheses x equals a close parentheses dan titik di sebelah kanan titik stasioner open parentheses x equals b close parentheses yaitu a less than c less than b.

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses greater than 0 dan f apostrophe open parentheses b close parentheses greater than 0 maka jenis stasioner adalah titik belok.

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses greater than 0 dan f apostrophe open parentheses b close parentheses less than 0 maka jenis stasioner adalah maksimum.

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses less than 0 dan f apostrophe open parentheses b close parentheses greater than 0 maka jenis stasioner adalah minimum.

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses less than 0 dan f apostrophe open parentheses b close parentheses less than 0 maka jenis stasioner adalah titik belok.

Perhatikan garis bilangan berikut.

Diperoleh sebelumnya x equals negative 1 dan x equals 1, akan kita uji titik di sekitarnya dengan menyubstitusikan ke turunan pertama yaitu f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 3 x squared minus 3.

Untuk x equals negative 2 di sebelah kiri x equals negative 1 yaitu:

f apostrophe open parentheses negative 2 close parentheses equals 3 open parentheses negative 2 close parentheses squared minus 3 equals 3 times 4 minus 3 equals 12 minus 3 equals 9 space open parentheses positif close parentheses

Untuk x equals 0 diantara x equals negative 1 dan x equals 1 yaitu:

f apostrophe open parentheses 0 close parentheses equals 3 open parentheses 0 close parentheses squared minus 3 equals 3 open parentheses 0 close parentheses minus 3 equals negative 3 space open parentheses negatif close parentheses

Untuk x equals 2 di sebelah kanan x equals 1 yaitu:

f apostrophe open parentheses 2 close parentheses equals 3 open parentheses 2 close parentheses squared minus 3 equals 3 open parentheses 4 close parentheses minus 3 equals 12 minus 3 space open parentheses positif close parentheses

Maka garis bilangannya:

Jadi, dari garis bilangan dapat dilihat bahwa:

Untuk x equals negative 1 nilai stasionernya 2 jenisnya maksimum. Sehingga titik stasioner open parentheses negative 1 comma space 2 close parentheses jenisnya adalah titik balik maksimum.

Untuk x equals 1 nilai stasionernya negative 2 jenisnya minimum. Sehingga titik stasioner open parentheses 1 comma space minus 2 close parentheses jenisnya adalah titik balik minimum.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Ayu

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Padang

Terakhir diupdate 07 Juni 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahui fungsi  yang dirumuskan sebagai . Tentukan nilai maksimum fungsi  dalam interval .

Pembahasan Soal:

Titik stasioner fungsi di atas dapat ditentukan dengan mencari turunan pertama dari fungsi f open parentheses x close parentheses sama dengan nol, sebagai berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell x cubed minus 12 x squared end cell row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 3 x squared minus 24 x end cell row 0 equals cell 3 x squared minus 24 x end cell row 0 equals cell x squared minus 8 x end cell row 0 equals cell x open parentheses x minus 8 close parentheses end cell end table   

Pembuat nol nya sebagai berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell bullet space x end cell equals 0 row cell bullet x minus 8 end cell equals 0 row x equals 8 end table  

Untuk mencari nilai maksimum, substitusi nilai x equals 0x equals negative 1 dan x equals 5 ke f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 12 x squared. Untuk x equals 8 tidak kita cari nilai maksimumnya karena x equals 8 berada di luar interval negative 1 less or equal than x less or equal than 5. Maka nilai maksimumnya diperoleh:

untuk x equals negative 1, diperoleh: 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell x cubed minus 12 x squared end cell row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 1 close parentheses cubed minus 12 open parentheses negative 1 close parentheses squared end cell row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell negative 1 minus 12 end cell row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell negative 13 end cell end table  

untuk x equals 0, diperoleh:  

f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 2 x squared f open parentheses 0 close parentheses equals 0 cubed minus 2 open parentheses 0 close parentheses squared f open parentheses 0 close parentheses equals 0 minus 0 f open parentheses 0 close parentheses equals 0   

untuk x equals 5, diperoleh:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell x cubed minus 12 x squared end cell row cell f open parentheses 5 close parentheses end cell equals cell open parentheses 5 close parentheses cubed minus 12 open parentheses 5 close parentheses squared end cell row cell f open parentheses 5 close parentheses end cell equals cell 125 minus 300 end cell row cell f open parentheses 5 close parentheses end cell equals cell negative 175 end cell end table  

Jadi, nilai maksimum fungsi f dalam interval negative 1 less or equal than x less or equal than 5 adalah 0 atau berada pada open parentheses 0 comma 0 close parentheses

Roboguru

Nilai maksimum dan minimum dari  pada  adalah....

Pembahasan Soal:

Diketahui f left parenthesis x right parenthesis equals x squared plus 4 x maka titik stasionernya.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell 2 x plus 4 end cell equals 0 row cell 2 x end cell equals cell negative 4 end cell row x equals cell negative 2 end cell end table 

Ternyata x equals negative 2 masih dalam interval open square brackets negative 3 comma space 1 close square brackets 

Nilai fungsi pada titik stasioner:

f(2)===(2)2+4(2)484 

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval:

f(3)===(3)2+4(3)9123 

f(1)===12+411+45 

Dengan demikian, nilai maksimumnya adalah 5 dan nilai minimumnya adalah negative 4.

Roboguru

Tentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan turun untuk : 1)

Pembahasan Soal:

Menentukan titik stasioner fungsi begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals x cubed minus 6 x squared plus 9 x end style.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals 0 row cell 3 x squared minus 12 x plus 9 end cell equals 0 row cell x squared minus 4 x plus 3 end cell equals 0 row cell left parenthesis x minus 1 right parenthesis left parenthesis x minus 3 right parenthesis end cell equals 0 end table end style 

begin mathsize 14px style x equals 1 space text atau end text space x equals 3 end style

Terdapat dua titik stasioner yaitu begin mathsize 14px style x equals 1 space text atau end text space x equals 3 end style.

Syarat fungsi naik adalah begin mathsize 14px style f apostrophe left parenthesis x right parenthesis greater than 0 end style. Dari titik stasioner yang telah didapatkan maka begin mathsize 14px style left parenthesis x minus 1 right parenthesis left parenthesis x minus 3 right parenthesis greater than 0 end style.  

Jadi, fungsi naik pada interval begin mathsize 14px style x less than 1 space text atau end text space x greater than 3 end style.

Syarat fungsi turun adalah begin mathsize 14px style f apostrophe left parenthesis x right parenthesis less than 0 end style. Dari titik stasioner yang telah didapatkan maka begin mathsize 14px style left parenthesis x minus 1 right parenthesis left parenthesis x minus 3 right parenthesis less than 0 end style.

  

Jadi, fungsi turun pada interval begin mathsize 14px style 1 less than x less than 3 end style.

Roboguru

Fungsi  didefinisikan sebagai . Tentukanlah: a. titik stasioner fungsinya;

Pembahasan Soal:

Didefinisikan suatu fungsi: size 14px f size 14px left parenthesis size 14px x size 14px right parenthesis size 14px equals size 14px 2 size 14px x to the power of size 14px 3 size 14px plus size 14px 3 size 14px x to the power of size 14px 2 size 14px minus size 14px 72 size 14px x size 14px plus size 14px 100.

Titik stasioner fungsi tersebut yaitu begin mathsize 14px style f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 0 end style.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals 0 row cell 6 x squared plus 6 x minus 72 end cell equals 0 row cell 6 open parentheses x squared plus x minus 12 close parentheses end cell equals 0 row cell x squared plus x minus 12 end cell equals 0 row cell left parenthesis x plus 4 right parenthesis left parenthesis x minus 3 right parenthesis end cell equals 0 end table end style 

begin mathsize 14px style x equals negative 4 space atau space x equals 3 end style 

Untuk begin mathsize 14px style x equals negative 4 end style, maka:

begin mathsize 14px style f left parenthesis negative 4 right parenthesis equals 2 open parentheses negative 4 close parentheses cubed plus 3 open parentheses negative 4 close parentheses squared minus 72 open parentheses negative 4 close parentheses plus 100 equals 308 end style 

Untuk begin mathsize 14px style x equals 3 end style, maka:

begin mathsize 14px style f left parenthesis 3 right parenthesis equals 2 times 3 cubed plus 3 times 3 squared minus 72 times 3 plus 100 equals negative 35 end style 

Jadi, titik stasioner fungsi tersebut adalah begin mathsize 14px style bottom enclose bold left parenthesis bold minus bold 4 bold comma bold space bold 308 bold right parenthesis bold space bold dan bold space bold left parenthesis bold 3 bold comma bold space bold minus bold 35 bold right parenthesis end enclose end style.

Roboguru

Diketahui fungsi  ditentukan dengan rumus:   C. Tentukan nilai-nilai stasionernya.

Pembahasan Soal:

Turunan fungsi aljabar.

straight f left parenthesis straight x right parenthesis equals ax to the power of straight n space rightwards arrow straight f apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis equals nax to the power of straight n minus 1 end exponent   

Maka :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell straight x plus 1 over straight x end cell row cell straight f left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell straight x plus straight x to the power of negative 1 end exponent end cell row cell straight f apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell straight x to the power of 1 minus 1 end exponent plus left parenthesis negative 1 right parenthesis straight x to the power of negative 1 minus 1 end exponent end cell row blank equals cell 1 minus straight x to the power of negative 2 end exponent end cell end table   

Titik stasioner jika straight f apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis equals 0 maka:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell 1 minus straight x to the power of negative 2 end exponent end cell row 0 equals cell 1 minus straight x to the power of negative 2 end exponent end cell row cell straight x to the power of negative 2 end exponent end cell equals 1 row cell 1 over straight x squared end cell equals 1 row cell straight x squared end cell equals 1 row straight x equals cell plus-or-minus square root of 1 end cell row blank equals cell plus-or-minus 1 end cell end table   

Untuk x equals 1 maka :

  table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell straight x plus 1 over straight x end cell row cell straight f left parenthesis 1 right parenthesis end cell equals cell 1 plus 1 over 1 end cell row blank equals 2 end table  

Untuk straight x equals negative 1 maka :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell straight x plus 1 over straight x end cell row cell straight f left parenthesis negative 1 right parenthesis end cell equals cell negative 1 plus fraction numerator 1 over denominator negative 1 end fraction end cell row blank equals cell negative 1 minus 1 end cell row blank equals cell negative 2 end cell end table    

Titik-titk sationernya left parenthesis straight x comma space straight f left parenthesis straight x right parenthesis right parenthesis adalah left parenthesis negative 1 comma space minus 2 right parenthesis dan left parenthesis 1 comma space 2 right parenthesis.

Nilai stasionernya adalah ordinat dari titik stasioner.

Nilai maksimum adalah 2.

Nilai minimum adalah negative 2 

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved