Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f yang didefinisikan dengan f ( x ) = x 3 − 3 x dan tentukan jenis nilai stasioner tersebut!

Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi $f$ yang didefinisikan dengan $f (x) = x^{3} - 3 x$ dan tentukan jenis nilai stasioner tersebut!

N. Ayu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Padang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Perhatikan perhitungan berikut. Ingat: syarat stasioner turunan pada fungsi Maka: Fungsi awal yaitu: Turunan pertama yaitu: Syarata stasioner maka: Didapatkan atau . Menentukan nilai stasionernya, substitusikan ke fungsi awal. Untuk . Didapatkan titik stasionernya yaitu . Untuk . Didapatkan titik stasionernya yaitu . Menentukan jenis stasioner. Misalkan adalah titik stasioner, maka kita akan uji titik di sebelah kiri titik stasioner dan titik di sebelah kanan titik stasioner yaitu . Jika nilai dan maka jenis stasioner adalah titik belok. Jika nilai dan maka jenis stasioner adalah maksimum. Jika nilai dan maka jenis stasioner adalah minimum. Jika nilai dan maka jenis stasioner adalah titik belok. Perhatikan garis bilangan berikut. Diperoleh sebelumnya dan , akan kita uji titik di sekitarnya dengan menyubstitusikan ke turunan pertama yaitu . Untuk di sebelah kiri yaitu: Untuk diantara dan yaitu: Untuk di sebelah kanan yaitu: Maka garis bilangannya: Jadi, dari garis bilangan dapat dilihat bahwa: Untuk nilai stasionernya jenisnya maksimum. Sehingga titik stasioner jenisnya adalah titik balik maksimum. Untuk nilai stasionernya jenisnya minimum. Sehingga titik stasioner jenisnya adalah titik balik minimum.

Perhatikan perhitungan berikut.

Ingat:

syarat stasioner

f open parentheses x close parentheses equals y rightwards arrow f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0

turunan pada fungsi

f open parentheses x close parentheses equals x to the power of n rightwards arrow f apostrophe open parentheses x close parentheses equals n x to the power of n minus 1 end exponent

Maka:

Fungsi awal yaitu:

f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 3 x

Turunan pertama yaitu:

f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 3 x squared minus 3

Syarata stasioner f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 maka:

Didapatkan x equals 1 atau x equals negative 1 .

Menentukan nilai stasionernya, substitusikan ke fungsi awal.

Untuk x equals 1 .

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses 1 close parentheses end cell equals cell 1 cubed minus 3 times 1 end cell row blank equals cell 1 minus 3 end cell row blank equals cell negative 2 end cell end table

Didapatkan titik stasionernya yaitu open parentheses 1 comma space minus 2 close parentheses .

Untuk x equals negative 1 .

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 1 close parentheses cubed minus 3 times open parentheses negative 1 close parentheses end cell row blank equals cell negative 1 plus 3 end cell row blank equals 2 end table

Didapatkan titik stasionernya yaitu open parentheses negative 1 comma space 2 close parentheses .

Menentukan jenis stasioner.

Misalkan open parentheses c comma space f open parentheses c close parentheses close parentheses adalah titik stasioner, maka kita akan uji titik di sebelah kiri titik stasioner open parentheses x equals a close parentheses dan titik di sebelah kanan titik stasioner open parentheses x equals b close parentheses yaitu a less than c less than b .

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses greater than 0 dan maka jenis stasioner adalah titik belok.

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses greater than 0 dan maka jenis stasioner adalah maksimum.

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses less than 0 dan maka jenis stasioner adalah minimum.

Jika nilai f apostrophe open parentheses a close parentheses less than 0 dan maka jenis stasioner adalah titik belok.

Perhatikan garis bilangan berikut.

Diperoleh sebelumnya x equals negative 1 dan x equals 1 , akan kita uji titik di sekitarnya dengan menyubstitusikan ke turunan pertama yaitu f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 3 x squared minus 3 .

Untuk x equals negative 2 di sebelah kiri x equals negative 1 yaitu:

f apostrophe open parentheses negative 2 close parentheses equals 3 open parentheses negative 2 close parentheses squared minus 3 equals 3 times 4 minus 3 equals 12 minus 3 equals 9 space open parentheses positif close parentheses

Untuk x equals 0 diantara x equals negative 1 dan x equals 1 yaitu:

f apostrophe open parentheses 0 close parentheses equals 3 open parentheses 0 close parentheses squared minus 3 equals 3 open parentheses 0 close parentheses minus 3 equals negative 3 space open parentheses negatif close parentheses

Untuk x equals 2 di sebelah kanan x equals 1 yaitu:

f apostrophe open parentheses 2 close parentheses equals 3 open parentheses 2 close parentheses squared minus 3 equals 3 open parentheses 4 close parentheses minus 3 equals 12 minus 3 space open parentheses positif close parentheses

Maka garis bilangannya:

Jadi, dari garis bilangan dapat dilihat bahwa:

Untuk x equals negative 1 nilai stasionernya jenisnya maksimum. Sehingga titik stasioner open parentheses negative 1 comma space 2 close parentheses jenisnya adalah titik balik maksimum.

Untuk x equals 1 nilai stasionernya negative 2 jenisnya minimum. Sehingga titik stasioner open parentheses 1 comma space minus 2 close parentheses jenisnya adalah titik balik minimum.