Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan berikut. a. 30, 68, dan 100

Ingat kembali:

• Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah faktor yang sama dan terbesar dari dua bilangan tersebut.
• Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah kelipatan terkecil yang sama dari kedua bilangan tersebut. 
• Faktorisasi prima dari suatu bilangan adalah penguraian bilangan menjadi perkalian dari faktor-faktor primanya. Faktorisasi prima dapat dicari dengan menggunakan pohon faktor. 
• Untuk mencari FPB dengan menggunakan faktorisasi prima, maka kalikan faktor-faktor yang sama dengan pangkat terkecil.
• Untuk mencari KPK dengan menggunakan faktorisasi prima, maka kalikan faktor-faktor prima dengan ketentuan: pilih semua faktor prima yang berbeda dan jika ada faktor prima yang sama, maka pilih faktor prima dengan pangkat tertinggi. 

Oleh karena itu, akan dicari faktorisasi prima dari masing-masing bilangan dengan menggunakan pohon faktor, seperti berikut:

maka diperoleh

• Faktorisasi prima dari 24 adalah $$2^3\times 3$$ 
• Faktorisasi prima dari 32 adalah $$2^5$$

sehingga diperoleh

$$\begin{array}{rcl}\text{FPB}\left(24,32\right)& =& 2^3\\ & =& 8\end{array}$$

dan

$$\begin{array}{rcl}\text{KPK}\left(24,32\right)& =& 2^5\times 3\\ & =& 32\times 3\\ & =& 96\end{array}$$ 

Dengan demikian, nilai FPB dari 24 dan 32 adalah 8 dan nilai KPK dari 24 dan 32 adalah 96. 

KPK dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan prosedur berikut.

1. Nyatakan bilangan-bilangan tersebut dalam bentuk faktorisasi prima (perkalian faktor-faktor primanya).
2. Kalikan semua faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut. Jika ada faktor yang sama, maka gunakan salah satu faktor dengan pangkat paling besar.
3. Hasil kali faktor-faktor prima tersebut adalah KPK dari bilangan-bilangan tersebut.

FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan prosedur berikut.

1. Nyatakan bilangan-bilangan dalam bentuk faktorisasi prima (perkalian faktor-faktor primanya).
2. Kalikan faktor prima yang sama dari bilangan-bilangan tersebut. Jika ada faktor yang pangkatnya berbeda, maka gunakan salah satu faktor dengan pangkat paling kecil.
3. Hasil kali faktor-faktor prima yang sama tersebut adalah FPB dari bilangan-bilangan tersebut.

Pohon faktor dari 90, 120, dan 150

Sehingga dapat ditentukan KPK dan FPB dari 90, 120, dan 150 sebagai berikut.

$$\begin{array}{rcl}90& =& 2\times 3^2\times 5\\ 120& =& 2^3\times 3\times 5\\ 150& =& 2\times 3\times 5^2\\ \mathrm{KPK}& =& 2^3\times 3^2\times 5^2\\ & =& 8\times 9\times 25\\ & =& 1.800\\ \mathrm{FPB}& =& 2\times 3\times 5\\ & =& 30\end{array}$$

Dengan demikian, KPK dan FPB dari 90, 120, dan 150 berturut-turut adalah 1.800 dan 30.

Cara menentukan FPB dengan faktoriasi prima

• Tentukan faktorisasi prima menggunakan pohon faktor
• FPB diperoleh dari perkalian faktor-faktor yang sama dari kedua bilangan dengan pangkat terkecil

Cara menentukan KPK dengan faktorisasi prima

• Tentukan faktorisasi prima menggunakan pohon faktor
• KPK diperoleh dari perkalian semua faktor prima, jika terdapat faktor prima yang sama maka pilihlah faktor prima dengan pangkat yang paling besar

Pohon faktor dari $$16\text{dan}27$$ adalah sebagai berikut.

Diperoleh faktorisasi prima

$$\begin{array}{rcl}16& =& 2^4\\ 27& =& 3^3\end{array}$$

Karena tidak ada faktor yang sama dari $$16\text{dan}27$$ maka FPB dari $$16\text{dan}27$$ tidak ada. Sedangkan KPK dari $$16\text{dan}27$$adalah hasil kali dari semua faktor $$16\text{dan}27$$ sehingga

$$\begin{array}{rcl}\text{KPK}& =& 2^4\times 3^3\\ & =& 16\times 27\\ & =& 432\end{array}$$

Dengan demikian, $$16\text{dan}27$$ tidak memiliki FPB sedangkan KPK dari $$16\text{dan}27$$ adalah $$432$$.

Pohon faktor untuk 25 dan 49 didapatkan:

Dari pohon faktor didapatkan:

Jadi, FPB dan KPK dari 25 dan 49 berturut-turut adalah 0 dan 1.225. 

KPK dan FPB dari bilangan salah satunya dapat ditentukan dengan metode pohon faktor. Bagilah bilangan 12 dan 15 dengan bilangan prima, dan terus lakukan pembagian hingga hasil akhir yang tersisa adalah bilangan prima yang tidak habis dibagi selain dengan dirinya sendiri seperti berikut:

Kemudian tuliskan faktorisasi primanya:

$$\begin{array}{rcl}12& =& 2^2\times 3\\ 15& =& 3\times 5\end{array}$$   

Dalam menentukan nilai FPB, pilihlah faktor prima dengan pangkat terkecil yang sama. Bilangan yang sama dengan pangkat terkecil adalah 3, maka FPB dari 12 dan 15 adalah 3. 

Sedangkan untuk KPK, kalikan semua faktor prima dan jika ada faktor yang sama maka pilihlah pangkat yang lebih besar seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{KPK}& =& 2^2\times 3\times 5\\ & =& 4\times 3\times 5\\ & =& 60\end{array}$$   

Sehingga 

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Selisih}& =& \mathrm{KPK}-\mathrm{FPB}\\ & =& 60-3\\ & =& 57\end{array}$$ 

Dengan demikian selisih KPK dan FPB dari bilangan 12 dan 15 adalah 57.