Pertanyaan

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius. b. x − 2 y + 1 = 0 dan x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 = 0

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius.

b. $x - 2 y + 1 = 0$ dan $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

garis dan lingkaran tersebut berpotongan di titik ( 1 , 1 ) dan ( 5 9 , 5 7 ) .

garis dan lingkaran tersebut berpotongan di titik

(1, 1)

dan

(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan persamaanlingkaran L . Titik potong garis g dengan lingkaran L dapat ditentukandengan langkah-langkah berikut. 1. Substitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah persamaan kuadrat. 2. Faktorkan persamaan kuadrat dari hasil langkah 1 untuk memperoleh nilai x . 3. Untuk menentukan nilai y , substitusikan nilai x yang diperoleh dari langkah 2 ke dalam persamaangaris g atau persamaan lingkaran L . Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Substitusikanpersamaan garis x − 2 y + 1 = 0 ke dalam persamaanlingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 = 0 sehingga diperoleh hasilsebagai berikut. x − 2 y + 1 = 0 ↔ y = 2 x + 1 x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 x 2 + ( 2 x + 1 ) 2 − 2 x − 4 ( 2 x + 1 ) + 4 x 2 + 4 x 2 + 2 x + 1 − 2 x − 2 x − 2 + 4 x 2 + 4 x 2 + 2 x + 1 − 4 x + 2 4 x 2 + x 2 + 2 x + 1 − 16 x + 8 5 x 2 − 14 x + 9 ( 5 x − 9 ) ( x − 1 ) = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 x = 5 9 atau x = 1 Untuk nilai x = 1 dapat ditentukan nilai y sebagai berikut. y = = = 2 x + 1 2 1 + 1 1 Diperoleh titik potong ( 1 , 1 ) . Untuk nilai x = 5 9 dapat ditentukan nilai y sebagai berikut. y = = = = = 2 x + 1 2 5 9 + 1 2 5 14 5 14 × 2 1 5 7 Diperoleh titik potong ( 5 9 , 5 7 ) Garis dan lingkaran tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 = 0 . Pusat ( − 2 A , − 2 B ) = ( − 2 − 2 , − 2 − 4 ) = ( 1 , 2 ) Jari-jari lingkaran: r = = = = = ( − 2 A ) 2 + ( − 2 B ) 2 − C ( − 2 − 2 ) 2 + ( − 2 − 4 ) 2 − 4 1 + 4 − 4 1 1 Untuk menggambar garis, tentukan titik potong garis x − 2 y + 1 = 0 dengan sumbu x dan sumbu y ,diperoleh titik potong ( − 1 , 0 ) dan ( 0 , 2 1 ) . Dengan demikian, garis dan lingkaran tersebut berpotongan di titik ( 1 , 1 ) dan ( 5 9 , 5 7 ) .

Misalkan diketahui persamaan garis lurus $g$ dan persamaan lingkaran $L$ . Titik potong garis $g$ dengan lingkaran $L$ dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut.

1. Substitusikan persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$ sehingga diperoleh sebuah persamaan kuadrat.

2. Faktorkan persamaan kuadrat dari hasil langkah 1 untuk memperoleh nilai $x$ .

3. Untuk menentukan nilai $y$ , substitusikan nilai $x$ yang diperoleh dari langkah 2 ke dalam persamaan garis $g$ atau persamaan lingkaran $L$ .

Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut.

Substitusikan persamaan garis $x - 2 y + 1 = 0$ ke dalam persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

$x - 2 y + 1 = 0 \leftrightarrow y = \frac{x + 1}{2}$

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 x^{2} + (\frac{x + 1}{2})^{2} - 2 x - 4 (\frac{x + 1}{2}) + 4 x^{2} + \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{4} - 2 x - 2 x - 2 + 4 x^{2} + \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{4} - 4 x + 2 4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 - 16 x + 8 5 x^{2} - 14 x + 9 (5 x - 9) (x - 1) = = = = = = = 0000000$

$x = \frac{9}{5} atau x = 1$

Untuk nilai $x = 1$ dapat ditentukan nilai $y$ sebagai berikut.

$y = = = \frac{x + 1}{2} \frac{1 + 1}{2} 1$

Diperoleh titik potong $(1, 1)$ .

Untuk nilai $x = \frac{9}{5}$ dapat ditentukan nilai $y$ sebagai berikut.

$y = = = = = \frac{x + 1}{2} \frac{\frac{9}{5} + 1}{2} \frac{\frac{14}{5}}{2} \frac{14}{5} \times \frac{1}{2} \frac{7}{5}$

Diperoleh titik potong $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$

Garis dan lingkaran tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ .

Pusat $(\frac{A}{- 2}, \frac{B}{- 2}) = (\frac{- 2}{- 2}, \frac{- 4}{- 2}) = (1, 2)$

Jari-jari lingkaran:

$r = = = = = (\frac{A}{- 2})^{2} + (\frac{B}{- 2})^{2} - C (\frac{- 2}{- 2})^{2} + (\frac{- 4}{- 2})^{2} - 4 1 + 4 - 4 11$

Untuk menggambar garis, tentukan titik potong garis $x - 2 y + 1 = 0$ dengan sumbu $x$ dan sumbu $y$ , diperoleh titik potong $(- 1, 0)$ dan $(0, \frac{1}{2})$ .

Dengan demikian, garis dan lingkaran tersebut berpotongan di titik $(1, 1)$ dan $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.2 (5 rating)

Aulia Donna Agnesia Harahap

Jawaban tidak sesuai

Pertanyaan serupa

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius. a. x 2 + y 2 + 4 x − 9 y − 10 = 0 dan x − y − 1 = 0

4.6

Jawaban terverifikasi

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius. a. x 2 + y 2 + 4 x − 9 y − 10 = 0 dan x − y − 1 = 0

4.6

Jawaban terverifikasi

Lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y = 45 memotong sumbu X di titik A dan titik B . Jika P merupakan pusat lingkaran dan ∠ APB = θ , maka tan θ sama dengan....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 dan garis l : y − 3 = 0 . Carilah koordinat pada lingkaran yang jaraknya ke garis itu sama dengan jari-jari lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 dan garis l : y − 3 = 0 . Carilah koordinat pada lingkaran yang jaraknya ke garis itu sama dengan jari-jari lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi