Pertanyaan

Lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y = 45 memotong sumbu X di titik A dan titik B . Jika P merupakan pusat lingkaran dan ∠ APB = θ , maka tan θ sama dengan....

Lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 45$ memotong sumbu $X$ di titik $A$ dan titik $B$ . Jika $P$ merupakan pusat lingkaran dan $∠ APB = θ$ , maka $tan θ$ sama dengan ....

$\frac{21}{20}$
$\frac{20}{21}$
$\frac{6}{7}$
$- \frac{20}{21}$
$- \frac{21}{20}$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah E.

Pembahasan

Ingat! Rumus trigonometri sudut ganda berikut ini. tan 2 θ = 1 − t a n 2 θ 2 t a n θ Persamaan umum lingkaran adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di titik ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dan berari-jari r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C . Berdasarkan rumus di atas, maka titik pusat lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 45 = 0 adalah ( − 2 1 A , − 2 1 B ) = ( − 2 1 ( − 4 ) , − 2 1 ⋅ 6 ) = ( 2 , − 3 ) dan jari-jarinya r = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( − 4 ) 2 + 4 1 ⋅ 6 2 − ( − 45 ) 4 1 ⋅ 16 + 4 1 ⋅ 36 + 45 4 + 9 + 45 58 Kita misalkan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y = 45 memotong sumbu X di titik ( a , 0 ) . Jarak titik pusat ( 2 , − 3 ) dengantitik ( a , 0 ) akan sama dengan panjang jari-jari lingkaran. Jarak titik pusat ( 2 , − 3 ) dengantitik ( a , 0 ) r 58 58 58 58 58 0 0 0 a = = = = = = = = = = ( a − 2 ) 2 + ( 0 − ( − 3 ) ) 2 ( a − 2 ) 2 + ( 0 + 3 ) 2 ( a − 2 ) 2 + 3 2 a 2 − 4 a + 4 + 9 a 2 − 4 a + 13 ( Kuadratkan kedua ruas ) a 2 − 4 a + 13 a 2 − 4 a + 13 − 58 a 2 − 4 a − 45 ( a − 9 ) ( a + 5 ) 9 atau a = − 5 Dengan demikian, lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y = 45 memotong sumbu X di titik ( 9 , 0 ) dan ( − 5 , 0 ) . Jarak titik ( 9 , 0 ) dan ( − 5 , 0 ) yaitu 14 satuan panjang. PAB akan membentuk segitiga sama kaki dengan alas 14 satuan panjang dan tinggi t = = = = = = r 2 − ( 2 alas ) 2 ( 58 ) 2 − ( 2 14 ) 2 ( 58 ) 2 − ( 7 ) 2 58 − 49 9 3 Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini. Nilai tan ∠ BPQ = 3 7 sehingga nilai tan ∠ APB = = = = = = = = tan ( 2 × ∠ BPQ ) 1 − t a n 2 ∠ BPQ 2 t a n ∠ BPQ 1 − ( 3 7 ) 2 2 ⋅ 3 7 1 − 9 49 3 14 9 9 − 9 49 3 14 − 9 40 3 14 3 14 ⋅ ( − 40 9 ) − 20 21 Jadi, tan θ sama dengan − 20 21 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Ingat!

Rumus trigonometri sudut ganda berikut ini.

$tan 2 θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}$

Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di titik $(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dan berari-jari $r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$ .

Berdasarkan rumus di atas, maka titik pusat lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 45 = 0$ adalah $(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) = (- \frac{1}{2} (- 4), - \frac{1}{2} \cdot 6) = (2, - 3)$ dan jari-jarinya

$r = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (- 4)^{2} + \frac{1}{4} \cdot 6^{2} - (- 45) \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 36 + 45 4 + 9 + 45 58$

Kita misalkan lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 45$ memotong sumbu $X$ di titik $(a, 0)$ . Jarak titik pusat $(2, - 3)$ dengan titik $(a, 0)$ akan sama dengan panjang jari-jari lingkaran.

Jarak titik pusat $(2, - 3)$ dengan titik $(a, 0)$

$r 5858585858000 a = = = = = = = = = = (a - 2)^{2} + (0 - (- 3))^{2} (a - 2)^{2} + (0 + 3)^{2} (a - 2)^{2} + 3^{2} a^{2} - 4 a + 4 + 9 a^{2} - 4 a + 13 (Kuadratkan kedua ruas) a^{2} - 4 a + 13 a^{2} - 4 a + 13 - 58 a^{2} - 4 a - 45 (a - 9) (a + 5) 9 atau a = - 5$

Dengan demikian, lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 45$ memotong sumbu $X$ di titik $(9, 0)$ dan $(- 5, 0)$ . Jarak titik $(9, 0)$ dan $(- 5, 0)$ yaitu $14$ satuan panjang. $PAB$ akan membentuk segitiga sama kaki dengan alas $14$ satuan panjang dan tinggi

$t = = = = = = r^{2} - (\frac{alas}{2})^{2} (58)^{2} - (\frac{14}{2})^{2} (58)^{2} - (7)^{2} 58 - 49 93$

Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini.

Nilai $tan ∠ BPQ = \frac{7}{3}$ sehingga nilai

$tan ∠ APB = = = = = = = = tan (2 \times ∠ BPQ) \frac{2 t a n ∠ BPQ}{1 - t a n ^{2} ∠ BPQ} \frac{2 \cdot \frac{7}{3}}{1 - ( \frac{7}{3} ) ^{2}} \frac{\frac{14}{3}}{1 - \frac{49}{9}} \frac{\frac{14}{3}}{\frac{9}{9} - \frac{49}{9}} \frac{\frac{14}{3}}{- \frac{40}{9}} \frac{14}{3} \cdot (- \frac{9}{40}) - \frac{21}{20}$

Jadi, $tan θ$ sama dengan $- \frac{21}{20}$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius. a. x 2 + y 2 + 4 x − 9 y − 10 = 0 dan x − y − 1 = 0

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 dan garis l : y − 3 = 0 . Carilah koordinat pada lingkaran yang jaraknya ke garis itu sama dengan jari-jari lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius. b. x − 2 y + 1 = 0 dan x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 = 0

4.2

Jawaban terverifikasi

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius. a. x 2 + y 2 + 4 x − 9 y − 10 = 0 dan x − y − 1 = 0

4.6

Jawaban terverifikasi

Tentukan koordinat titik potong antara garis dan lingkaran berikut ini dan lukislah dalam koordinat Cartesius. b. x − 2 y + 1 = 0 dan x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 = 0

4.2

Jawaban terverifikasi