Pertanyaan

SOAL UM UGM 2019 Jika − 2 π < x < 2 π dan x memenuhi 5 cos 2 x + 3 sin x cos x ≥ 1 , maka himpunan semua y = tan x adalah ....

SOAL UM UGM $2019$

Jika $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ dan $x$ memenuhi $5 cos^{2} x + 3 sin x cos x \geq 1$ , maka himpunan semua $y = tan x$ adalah ....

${y \in R : - 1 \leq y \leq 4}$
${y \in R : - 4 \leq y \leq 1}$
${y \in R : - 4 \leq y \leq - 1}$
${y \in R : 1 \leq y \leq 4}$
$R$

W. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sriwijaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A.

Pembahasan

Ingat kembali: tan 2 x + 1 = sec 2 x tan x = cos x sin x sec x = cos x 1 Jika − 2 π < x < 2 π dan x memenuhi 5 cos 2 x + 3 sin x cos x ≥ 1 , maka: 5 cos 2 x + 3 sin x cos x 5 cos 2 x + 3 sin x cos x − 1 c o s 2 x 5 c o s 2 x + c o s 2 x 3 s i n x c o s x − c o s 2 x 1 5 + 3 c o s x s i n x − sec 2 x 4 + 1 + 3 tan x − sec 2 x 4 + 3 tan x + 1 − sec 2 x 4 + 3 tan x + ( 1 − sec 2 ) x 4 + 3 tan x − tan 2 x ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 1 0 0 0 0 0 0 0 y = tan x , berarti: 4 + 3 tan x − tan 2 x 4 + 3 y − y 2 − y 2 + 3 y + 4 y 2 − 3 y − 4 ( y − 4 ) ( y + 1 ) y ≥ ≥ ≥ ≤ ≤ = 0 0 0 0 0 4 atau y = − 1 daerah himpunan penyelesaian: Dari gambar di atas dapat diketahui himpunan penyelesaiannya adalah − 1 ≤ y ≤ 4 . Jadi, jawaban yang benar adalah A.

Ingat kembali:

$tan^{2} x + 1 = sec^{2} x tan x = \frac{sin x}{cos x} sec x = \frac{1}{cos x}$

Jika $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ dan $x$ memenuhi $5 cos^{2} x + 3 sin x cos x \geq 1$ , maka:

$5 cos^{2} x + 3 sin x cos x 5 cos^{2} x + 3 sin x cos x - 1 \frac{5 c o s ^{2} x}{c o s ^{2} x} + \frac{3 s i n x c o s x}{c o s ^{2} x} - \frac{1}{c o s ^{2} x} 5 + 3 \frac{s i n x}{c o s x} - sec^{2} x 4 + 1 + 3 tan x - sec^{2} x 4 + 3 tan x + 1 - sec^{2} x 4 + 3 tan x + (1 - sec^{2}) x 4 + 3 tan x - tan^{2} x \geq \geq \geq \geq \geq \geq \geq \geq 10000000$