Buktikan bahwa:
b. 1 − tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) = tan θ + sec θ
Buktikan bahwa:
b. 1−tan(2θ)1+tan(2θ)=tanθ+secθ
Iklan
DR
D. Rajib
Master Teacher
Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang
Jawaban terverifikasi
Jawaban
terbukti bahwa 1 − tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) = tan θ + sec θ .
terbukti bahwa 1−tan(2θ)1+tan(2θ)=tanθ+secθ.
Iklan
Pembahasan
Untuk dapat membuktikan persamaan tersebut, salah satu caranya adalah dengan menunjukkan salah satu sisi persamaan dapat dimanipulasi sedemikian sehingga membentuk sisi lain persamaan. Pada kasus ini, akan ditunjukkan bahwa 1 − tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) dapat dimanipulasi sedemikian sehingga membentuk tan θ + sec θ .
Ingat bahwa:
Rumus tangen sudut rangkap:
tan 2 x = 1 − tan 2 x 2 tan x
Rumus cosinus sudut rangkap:
cos x = cos 2 x − sin 2 x
Identitas trigonometri:
1 + tan 2 x tan x sec x = = = sec 2 x , c o s x s i n x , dan c o s x 1
Dengan menggunakan rumus dan identitas trigonometri di atas, 1 − tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) dapat dimanipulasi sebagai berikut:
1 − tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) = 1 − tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) × 1 + tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) = 1 − tan 2 ( 2 θ ) 1 + tan 2 ( 2 θ ) + 2 tan ( 2 θ ) = 1 − tan 2 ( 2 θ ) 2 tan ( 2 θ ) + 1 − tan 2 ( 2 θ ) 1 + tan 2 ( 2 θ ) = tan 2 ( 2 θ ) + 1 − tan 2 ( 2 θ ) sec 2 ( 2 θ ) = tan θ + 1 − cos 2 ( 2 θ ) sin 2 ( 2 θ ) cos 2 ( 2 θ ) 1 = tan θ + cos 2 ( 2 θ ) cos 2 ( 2 θ ) − cos 2 ( 2 θ ) sin 2 ( 2 θ ) cos 2 ( 2 θ ) 1 = tan θ + cos 2 ( 2 θ ) cos 2 ( 2 θ ) − sin 2 ( 2 θ ) cos 2 ( 2 θ ) 1 = tan θ + cos 2 ( 2 θ ) − sin 2 ( 2 θ ) 1 = tan θ + cos θ 1 = tan θ + sec θ ( terbukti )
Dengan demikian, terbukti bahwa 1 − tan ( 2 θ ) 1 + tan ( 2 θ ) = tan θ + sec θ .
Untuk dapat membuktikan persamaan tersebut, salah satu caranya adalah dengan menunjukkan salah satu sisi persamaan dapat dimanipulasi sedemikian sehingga membentuk sisi lain persamaan. Pada kasus ini, akan ditunjukkan bahwa 1−tan(2θ)1+tan(2θ) dapat dimanipulasi sedemikian sehingga membentuk tanθ+secθ.
Ingat bahwa:
Rumus tangen sudut rangkap:
tan2x=1−tan2x2tanx
Rumus cosinus sudut rangkap:
cosx=cos2x−sin2x
Identitas trigonometri:
1+tan2xtanxsecx===sec2x,cosxsinx,dancosx1
Dengan menggunakan rumus dan identitas trigonometri di atas, 1−tan(2θ)1+tan(2θ) dapat dimanipulasi sebagai berikut: