Selidiki hubungan garis dan lingkaran berikut. a. y = 2 x + 1 dan x 2 + y 2 + 3 x + 5 y − 2 = 0

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L sebagai berikut. 1. Jika D > 0 , maka garis g memotong lingkaran L di dua titik berlainan. 2. Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . 3. Jika D < 0 , makagaris g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L . Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Substitusikan persamaan garis y = 2 x + 1 ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 3 x + 5 y − 2 = 0 sehingga diperoleh bentuk berikut. x 2 + y 2 + 3 x + 5 y − 2 x 2 + ( 2 x + 1 ) 2 + 3 x + 5 ( 2 x + 1 ) − 2 x 2 + 4 x 2 + 4 x + 1 + 3 x + 10 x + 5 − 2 5 x 2 + 17 x + 4 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Diperoleh a = 5 , b = 17 , dan c = 4 . Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. D ​ = = = = > ​ b 2 − 4 a c 1 7 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 4 289 − 80 209 0 ​ Karena D > 0 sehinggagaris tersebutmemotong lingkarandi dua titik berlainan. Dengan demikian, garis y = 2 x + 1 memotong lingkaran x 2 + y 2 + 3 x + 5 y − 2 = 0 di dua titik berlainan.