Diketahui garis x − 2 y + 5 dan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 5 = 0 . Garis tersebut adalah ....

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L berikut. 1. Jika D > 0 , maka garis g memotong lingkaran L di dua titik berlainan. 2. Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . 3. Jika D < 0 , makagaris g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L . Pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 adalah P ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) r = ( − 2 A ​ ) 2 + ( − 2 B ​ ) 2 − C ​ Jarak titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) terhadap garis a x + b y + c = 0 ditentukan oleh j = ∣ ∣ ​ a 2 + b 2 ​ a x 1 ​ + b y 1 ​ + c ​ ∣ ∣ ​ Posisi garis terhadap lingkaran dapat ditentukan sebagai berikut. Asumsikan persamaan garis x − 2 y + 5 = 0 sehingga x − 2 y + 5 2 y y ​ = = = ​ 0 x + 5 2 x + 5 ​ ​ Substitusikan persamaan garis tersebutke dalam persamaanlingkaransehingga diperoleh persamaan berikut. x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 5 x 2 + ( 2 x + 5 ​ ) 2 − 4 x − 2 ( 2 x + 5 ​ ) − 5 x 2 + 4 x 2 + 10 x + 25 ​ − 4 x − x − 5 − 5 x 2 + 4 x 2 + 10 x + 25 ​ − 5 x − 10 4 x 2 + x 2 + 10 x + 25 − 20 x − 40 5 x 2 − 10 x − 15 x 2 − 2 x − 3 ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 0 0 ​ Diperoleh nilai a = 1 , b = − 2 , dan c = − 3 . Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut, yaitu D ​ = = = = > ​ b 2 − 4 a c ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) 4 + 12 16 0 ​ Karena D > 0 sehingga garis tersebut memotong garis di dua titik yang berlainan. Pusat lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 5 = 0 adalah sebagai berikut. P ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) ​ = = ​ P ( − 2 − 4 ​ , − 2 − 2 ​ ) P ( 2 , 1 ) ​ r ​ = = = = ​ ( − 2 A ​ ) 2 + ( − 2 B ​ ) 2 − C ​ ( 2 − 4 ​ ) 2 + ( − 2 − 2 ​ ) 2 + 5 ​ 4 + 1 + 5 ​ 10 ​ ​ Jika garis melalui pusat lingkaran, maka titik pusat lingkaran tersebut memenuhi persamaan garis. x − 2 y + 5 ​ = =  = ​ 2 − 2 ⋅ 1 + 5 5 0 ​ Jadi, garis tidak melalui pusat lingkaran. Jarak titik pusat lingkaran P ( 2 , 1 ) ke garis x − 2 y + 5 = 0 dapat ditentukan sebagai berikut. j ​ = = = ​ ∣ ∣ ​ 1 2 + ( − 2 ) 2 ​ 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 + 5 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 5 ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ ​ j 5 ​ ​ = = = ​ 5 ​ 2 1 ​ 2 ​ × 10 ​ 2 1 ​ 2 ​ × jari-jari ​ Jadi, garis tersebut berjarak 2 1 ​ 2 ​ jari-jari dari pusat lingkaran. Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.