Pertanyaan

Diketahui garis x − 2 y + 5 dan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 5 = 0 . Garis tersebut adalah ....

Diketahui garis $x - 2 y + 5$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 5 = 0$ . Garis tersebut adalah ....

melalui pusat lingkaran $\;$
menyinggung lingkaran $\;$
berjarak $\frac{1}{2}$ jari-jari dari pusat lingkaran
berjarak $\frac{1}{2} 2$ jari-jari dari pusat lingkaran
terletak di luar lingkaran $\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L berikut. 1. Jika D > 0 , maka garis g memotong lingkaran L di dua titik berlainan. 2. Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . 3. Jika D < 0 , makagaris g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L . Pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 adalah P ( − 2 A , − 2 B ) r = ( − 2 A ) 2 + ( − 2 B ) 2 − C Jarak titik ( x 1 , y 1 ) terhadap garis a x + b y + c = 0 ditentukan oleh j = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ Posisi garis terhadap lingkaran dapat ditentukan sebagai berikut. Asumsikan persamaan garis x − 2 y + 5 = 0 sehingga x − 2 y + 5 2 y y = = = 0 x + 5 2 x + 5 Substitusikan persamaan garis tersebutke dalam persamaanlingkaransehingga diperoleh persamaan berikut. x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 5 x 2 + ( 2 x + 5 ) 2 − 4 x − 2 ( 2 x + 5 ) − 5 x 2 + 4 x 2 + 10 x + 25 − 4 x − x − 5 − 5 x 2 + 4 x 2 + 10 x + 25 − 5 x − 10 4 x 2 + x 2 + 10 x + 25 − 20 x − 40 5 x 2 − 10 x − 15 x 2 − 2 x − 3 = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 Diperoleh nilai a = 1 , b = − 2 , dan c = − 3 . Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut, yaitu D = = = = > b 2 − 4 a c ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) 4 + 12 16 0 Karena D > 0 sehingga garis tersebut memotong garis di dua titik yang berlainan. Pusat lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 5 = 0 adalah sebagai berikut. P ( − 2 A , − 2 B ) = = P ( − 2 − 4 , − 2 − 2 ) P ( 2 , 1 ) r = = = = ( − 2 A ) 2 + ( − 2 B ) 2 − C ( 2 − 4 ) 2 + ( − 2 − 2 ) 2 + 5 4 + 1 + 5 10 Jika garis melalui pusat lingkaran, maka titik pusat lingkaran tersebut memenuhi persamaan garis. x − 2 y + 5 = =  = 2 − 2 ⋅ 1 + 5 5 0 Jadi, garis tidak melalui pusat lingkaran. Jarak titik pusat lingkaran P ( 2 , 1 ) ke garis x − 2 y + 5 = 0 dapat ditentukan sebagai berikut. j = = = ∣ ∣ 1 2 + ( − 2 ) 2 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 + 5 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 5 ∣ ∣ 5 j 5 = = = 5 2 1 2 × 10 2 1 2 × jari-jari Jadi, garis tersebut berjarak 2 1 2 jari-jari dari pusat lingkaran. Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Misalkan diketahui persamaan garis lurus $g$ dan lingkaran $L$ . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$ sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ , dengan $a \neq = 0$ .

Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat $D = b^{2} - 4 a c$ , dapat ditentukan posisi garis $g$ terhadap lingkaran $L$ berikut.

1. Jika $D > 0$ , maka garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik berlainan.

2. Jika $D = 0$ , maka garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ .

3. Jika $D < 0$ , maka garis $g$ tidak memotong maupun menyinggung lingkaran $L$ .

Pusat dan jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ adalah

$P (\frac{A}{- 2}, \frac{B}{- 2})$

$r = (\frac{A}{- 2})^{2} + (\frac{B}{- 2})^{2} - C$

Jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ terhadap garis $a x + b y + c = 0$ ditentukan oleh

$j = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣$

Posisi garis terhadap lingkaran dapat ditentukan sebagai berikut.

Asumsikan persamaan garis $x - 2 y + 5 = 0$ sehingga

$x - 2 y + 5 2 y y = = = 0 x + 5 \frac{x + 5}{2}$

Substitusikan persamaan garis tersebut ke dalam persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan berikut.

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 5 x^{2} + (\frac{x + 5}{2})^{2} - 4 x - 2 (\frac{x + 5}{2}) - 5 x^{2} + \frac{x ^{2} + 10 x + 25}{4} - 4 x - x - 5 - 5 x^{2} + \frac{x ^{2} + 10 x + 25}{4} - 5 x - 10 4 x^{2} + x^{2} + 10 x + 25 - 20 x - 40 5 x^{2} - 10 x - 15 x^{2} - 2 x - 3 = = = = = = = 0000000$

Diperoleh nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = - 3$ .

Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut, yaitu

$D = = = = > b^{2} - 4 a c (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) 4 + 12 160$

Karena $D > 0$ sehingga garis tersebut memotong garis di dua titik yang berlainan.

Pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 5 = 0$ adalah sebagai berikut.

$P (\frac{A}{- 2}, \frac{B}{- 2}) = = P (\frac{- 4}{- 2}, \frac{- 2}{- 2}) P (2, 1)$

$r = = = = (\frac{A}{- 2})^{2} + (\frac{B}{- 2})^{2} - C (\frac{- 4}{2})^{2} + (\frac{- 2}{- 2})^{2} + 5 4 + 1 + 5 10$

Jika garis melalui pusat lingkaran, maka titik pusat lingkaran tersebut memenuhi persamaan garis.

$x - 2 y + 5 = = \neq = 2 - 2 \cdot 1 + 5 50$

Jadi, garis tidak melalui pusat lingkaran.

Jarak titik pusat lingkaran $P (2, 1)$ ke garis $x - 2 y + 5 = 0$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$j = = = ∣ ∣ \frac{1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 5}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{5}{5} ∣ ∣ 5$

$j 5 = = = 5 \frac{1}{2} 2 \times 10 \frac{1}{2} 2 \times jari-jari$

Jadi, garis tersebut berjarak $\frac{1}{2} 2$ jari-jari dari pusat lingkaran.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (10 rating)

Mikhayla Mika

Pembahasan lengkap banget Ini yang aku cari!

angelica

Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2 x + p dan x 2 + y 2 = 1 , maka nilai haruslah ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Selidiki hubungan garis dan lingkaran berikut. a. y = 2 x + 1 dan x 2 + y 2 + 3 x + 5 y − 2 = 0

4.5

Jawaban terverifikasi

Agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2 x + p dan x 2 + y 2 = 1 , maka nilai haruslah ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Selidiki hubungan garis dan lingkaran berikut. a. y = 2 x + 1 dan x 2 + y 2 + 3 x + 5 y − 2 = 0

4.5

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai agar lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 p x + 6 y + p 2 − 7 = 0 memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

0.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Bantuan & Panduan

Hubungi Kami

+62 815-7441-0000

info@ruangguru.com

02140008000

Ikuti Kami