Segitiga ABC dibentuk oleh tiga buah garis x + y − 2 = 0 ; x − y = 0 ; dan 5 x + y − 18 = 0 yang saling berpotongan. Tentukan bayangan △ ABC oleh dilatasi [ P , − 3 ] , dengan P ( 5 , 4 ) . Jika △ A ′ B ′ C ′ adalah bayangan △ ABC oleh dilatasi itu, tunjukkan bahwa luas △ A ′ B ′ C ′ : luas △ ABC = 9 : 1.

Pembahasan

Ingat kembali rumus berikut: Dilatasi dengan pusat P ( a , b ) dan faktor dilatasi k A ( x , y ) [ P , k ] ​ A ′ ( x ′ , y ′ ) ​ ​ x ​ ​ ​ ′ ​ ​ ​ − ​ ​ ​ a ​ ​ = ​ ​ ​ ​ k ​ ​ ​ ( x − a ) ​ ​ ​ y ​ ​ ​ ′ ​ ​ ​ − ​ ​ ​ b ​ ​ = ​ ​ ​ ​ k ​ ​ ​ ( x − b ) ​ Luas segitiga L △ ​ = 2 1 ​ ⋅ a ⋅ t Jarak dari A ( x A ​ , y A ​ ) dan B ( x B ​ , y B ​ ) adalah ∣ AB ∣ = ( x A ​ − x B ​ ) 2 + ( y A ​ − y B ​ ) 2 ​ Langkah pertama: Gambarkan garis x + y − 2 = 0 ; x − y = 0 ; dan 5 x + y − 18 = 0 pada bidang kartesius dan tentukan △ ABC sebagai berikut. Langkah kedua: Tentukan bayangan △ ABC oleh dilatasi [ ( 5 , 4 ) , − 3 ] berdasarkan titik-titik △ ABC pada gambar di atas. A ( 1 , 1 ) y ′ ​ → = ​ x ′ = − 3 ( 1 − 5 ) + 5 = 17 − 3 ( 1 − 4 ) + 4 = 13 ​ B ( 4 , − 2 ) y ′ ​ → = ​ x ′ = − 3 ( 4 − 5 ) + 5 = 8 − 3 ( − 2 − 4 ) + 4 = 22 ​ C ( 3 , 3 ) y ′ ​ → = ​ x ′ = k ( x − a ) + a = − 3 ( 3 − 5 ) + 5 = 11 k ( y − b ) + b = − 3 ( 3 − 4 ) + 4 = 7 ​ Perhatikan gambar berikut! Langkah ketiga: Tunjukkan bahwa luas △ A ′ B ′ C ′ : luas △ ABC = 9 : 1 dengan menggunakan rumus jarak dan luas segitiga sebagai berikut. Berdasarkan gambar dan rumus jarak di atas, maka panjang AB = 4 , 2 satuan , AC = 2 , 8 satuan , A ′ B ′ = 12 , 7 satuan dan A ′ C ′ = 8 , 5 satuan . Perbandinganluas △ A ′ B ′ C ′ : luas △ ABC adalah Luas △ ABC Luas △ A ′ B ′ C ′ ​ Luas △ ABC Luas △ A ′ B ′ C ′ ​ ​ = = ​ 2 1 ​ ​ ⋅ A ′ B ′ ⋅ A ′ C ′ 2 1 ​ ​ ⋅ A ′ B ′ ⋅ A ′ C ′ ​ = 4 , 2 ⋅ 2 , 8 12 , 7 ⋅ 8 , 5 ​ = 12 108 ​ 6 54 ​ = 1 9 ​ ​ Dengan demikian,luas △ A ′ B ′ C ′ : luas △ ABC = 9 : 1 pada soal tersebut adalah terbukti benar.