Pertanyaan

Sebuah vektor x dengan panjang 5 membuat sudut lancip dengan vektor y = ( 3 , 4 ) . Jika vektor x diproyeksikan ke vektor y dan panjang proyeksinya 2, tentukan vektor dari x .

Sebuah vektor $x$ dengan panjang $5$ membuat sudut lancip dengan vektor $y = (3, 4)$ . Jika vektor $x$ diproyeksikan ke vektor $y$ dan panjang proyeksinya 2, tentukan vektor dari $x$ .

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

x = ( 15 6 5 11 ) atau x = ( 2 1 ) .

x = (\frac{6}{15} \frac{11}{5}) atau x = (21)

Pembahasan

Ingat rumus. panjang proyeksi vektor x pada y = ∣ y ∣ x . y Berdasarkan rumus di atas maka berlaku. Misalkan: x ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ( 5 ) 2 5 = = = = ( a b ) a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 ........ ( i ) Selanjutnya : panjang proyeksi vektor x pada y 2 10 a = = = = ∣ y ∣ x . y 5 ( a b ) . ( 3 4 ) 3 a + 4 b 3 10 − 4 b Substitusikan nilai pada persamaan (i) 5 5 5 45 25 b 2 − 80 b + + 55 5 b 2 − 16 b + 11 ( 5 b − 11 ) ( b − 1 ) b jika b jika b = = = = = = = = = = a 2 + b 2 ( 3 10 − 4 b ) 2 + b 2 9 100 − 80 b + 16 b 2 + 9 9 b 2 25 b 2 − 80 b + 100 0 0 0 5 11 atau b = 1 5 11 maka a = 15 6 1 maka a = 2 Dengan demikian x = ( 15 6 5 11 ) atau x = ( 2 1 ) .

Ingat rumus.

$panjang proyeksi vektor x pada y = \frac{x . y}{∣ y ∣}$

Berdasarkan rumus di atas maka berlaku.

Misalkan:

$x ∣ ∣ x ∣ ∣^{2} (5)^{2} 5 = = = = (a b) a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} ........ (i)$

Selanjutnya :

$panjang proyeksi vektor x pada y 210 a = = = = \frac{x . y}{∣ y ∣} \frac{( a b ) . ( 3 4 )}{5} 3 a + 4 b \frac{10 - 4 b}{3}$

Substitusikan nilai $a$ pada persamaan (i)

$55545 25 b^{2} - 80 b + + 55 5 b^{2} - 16 b + 11 (5 b - 11) (b - 1) b jika b jika b = = = = = = = = = = a^{2} + b^{2} (\frac{10 - 4 b}{3})^{2} + b^{2} \frac{100 - 80 b + 16 b ^{2}}{9} + \frac{9 b ^{2}}{9} 25 b^{2} - 80 b + 100 000 \frac{11}{5} atau b = 1 \frac{11}{5} maka a = \frac{6}{15} 1 maka a = 2$