Pertanyaan

Diketahui x dengan panjang 5 membuat sudut lancip dengan y = ( 3 , 4 ) . Jika x diproyeksikan ke y , panjang proyeksinya 2. Tentukan x .

Diketahui $x$ dengan panjang $5$ membuat sudut lancip dengan $y = (3, 4)$ . Jika $x$ diproyeksikan ke $y$ , panjang proyeksinya 2. Tentukan $x$ .

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

x = ( 2 , 1 ) atau x = ( 5 2 , 5 11 ) .

x = (2, 1)

atau

x = (\frac{2}{5}, \frac{11}{5})

Pembahasan

Ingat bahwa panjang vektor hasil proyeksi atau proyeksi skalar dari vektor a ke b dapat dihitung menggunakan rumus berikut: ∣ a b ∣ = ∣ b ∣ a ⋅ b Hasil perkalian titik antara vektor a = ( a 1 , a 2 ) dan b = ( b 1 , b 2 ) , yaitu: a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 Sedangkan rumus panjang vektor b , yaitu: ∣ b ∣ = b 1 2 + b 2 2 Misalkan x = ( x 1 , x 2 ) . Maka, dari proyeksi x ke y diperoleh persamaan berikut: ∣ x y ∣ 2 9 + 16 3 x 1 + 4 x 2 25 3 x 1 + 4 x 2 5 3 x 1 + 4 x 2 3 x 1 + 4 x 2 4 x 2 x 2 = = = = = = = = ∣ y ∣ x ⋅ y 3 2 + 4 2 ( x 1 , x 2 ) ⋅ ( 3 , 4 ) 2 2 2 2 × 5 10 − 3 x 1 4 10 − 3 x 1 Dari panjang vektor x , diperoleh persamaan sebagai berikut: ∣ x ∣ 5 5 = = = x 1 2 + x 1 2 x 1 2 + x 1 2 x 1 2 + x 1 2 Substitusi x 2 = 4 10 − 3 x 1 ke 5 = x 1 2 + x 2 2 : 5 x 1 2 + ( 4 10 − 3 x 1 ) 2 x 1 2 + 16 100 − 60 x 1 + 9 x 1 2 16 16 x 1 2 + 100 − 60 x 1 + 9 x 1 2 100 − 60 x 1 + 25 x 1 2 25 x 1 2 − 60 x 1 + 100 25 x 1 2 − 60 x 1 + 100 − 80 25 x 1 2 − 60 x 1 + 20 ( 5 x 1 − 10 ) ( 5 x 1 − 2 ) x 1 = = = = = = = = = = x 1 2 + x 2 2 5 5 5 5 × 16 80 0 0 0 2 atau x 1 = 5 2 Untuk x 1 = 2 , maka: x 2 = = = = 4 10 − 3 ( 2 ) 4 10 − 6 4 4 1 Diperoleh x = ( 2 , 1 ) . Sedangkan untuk x 1 = 5 2 , maka: x 2 = = = = = = = 4 10 − 3 ( 5 2 ) 4 5 50 − 5 6 4 5 44 4 × 5 44 4 × 5 4 × 11 5 11 1 Diperoleh x = ( 5 2 , 5 11 ) . Dengan demikian, x = ( 2 , 1 ) atau x = ( 5 2 , 5 11 ) .

Ingat bahwa panjang vektor hasil proyeksi atau proyeksi skalar dari vektor $a$ ke $b$ dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

$∣ a_{b} ∣ = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣}$

Hasil perkalian titik antara vektor $a = (a_{1}, a_{2})$ dan $b = (b_{1}, b_{2})$ , yaitu:

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

Sedangkan rumus panjang vektor $b$ , yaitu:

$∣ b ∣ = b_{1}^{2} + b_{2}^{2}$

Misalkan $x = (x_{1}, x_{2})$ . Maka, dari proyeksi $x$ ke $y$ diperoleh persamaan berikut:

$∣ x_{y} ∣ 2 \frac{3 x _{1} + 4 x _{2}}{9 + 16} \frac{3 x _{1} + 4 x _{2}}{25} \frac{3 x _{1} + 4 x _{2}}{5} 3 x_{1} + 4 x_{2} 4 x_{2} x_{2} = = = = = = = = \frac{x \cdot y}{∣ y ∣} \frac{( x _{1} , x _{2} ) \cdot ( 3 , 4 )}{3 ^{2} + 4 ^{2}} 222 2 \times 5 10 - 3 x_{1} \frac{10 - 3 x _{1}}{4}$

Dari panjang vektor $x$ , diperoleh persamaan sebagai berikut:

$∣ x ∣ 55 = = = x_{1}^{2} + x_{1}^{2} x_{1}^{2} + x_{1}^{2} x_{1}^{2} + x_{1}^{2}$

Substitusi $x_{2} = \frac{10 - 3 x _{1}}{4}$ ke $5 = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ :

$5 x_{1}^{2} + (\frac{10 - 3 x _{1}}{4})^{2} x_{1}^{2} + \frac{100 - 60 x _{1} + 9 x _{1}^{2}}{16} \frac{16 x _{1}^{2} + 100 - 60 x _{1} + 9 x _{1}^{2}}{16} 100 - 60 x_{1} + 25 x_{1}^{2} 25 x_{1}^{2} - 60 x_{1} + 100 25 x_{1}^{2} - 60 x_{1} + 100 - 80 25 x_{1}^{2} - 60 x_{1} + 20 (5 x_{1} - 10) (5 x_{1} - 2) x_{1} = = = = = = = = = = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} 555 5 \times 16 80000 2 atau x_{1} = \frac{2}{5}$

Untuk $x_{1} = 2$ , maka:

$x_{2} = = = = \frac{10 - 3 ( 2 )}{4} \frac{10 - 6}{4} \frac{4}{4} 1$

Diperoleh $x = (2, 1)$ .

Sedangkan untuk $x_{1} = \frac{2}{5}$ , maka:

$x_{2} = = = = = = = \frac{10 - 3 ( \frac{2}{5} )}{4} \frac{\frac{50}{5} - \frac{6}{5}}{4} \frac{\frac{44}{5}}{4} \frac{44}{4 \times 5} \frac{4 \times 11}{4 \times 5} \frac{11}{5} 1$