Pertanyaan

Sebuah taman berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti pada gambar berikut ini. Diketahui keliling taman tersebut adalah K satuan panjang. Agar luas taman mencapai maksimum, maka panjang dan lebar taman tersebut berturut-turut haruslah x dan y satuan panjang. Jika K = π + 4 , maka x y = ....

Sebuah taman berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti pada gambar berikut ini.

Diketahui keliling taman tersebut adalah $K$ satuan panjang. Agar luas taman mencapai maksimum, maka panjang dan lebar taman tersebut berturut-turut haruslah $x$ dan $y$ satuan panjang. Jika $K = π + 4$ , maka $x y = ....$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Luas maksimum tercapai apabila L ′ ( x ) = 0 Ingat aturan turunan fungsi berikut! f ( x ) = a x n → f ′ ( x ) = n ⋅ a x n − 1 Pada soal di atas,diketahui luas taman mencapai maksimum apabilapanjang dan lebar taman tersebut berturut-turut x dan y satuan panjang, serta kelilingnya K = π + 4 . K K 2 y 2 y y = = = = = x + 2 y + 2 1 ⋅ π ⋅ x x + 2 y + 2 π x K − ( x + 2 π x ) 2 2 K − ( 2 + π ) x 4 2 K − ( 2 + π ) x Luas taman tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. L = = = = = = x ⋅ y + 2 1 π r 2 x ( 4 2 K − ( 2 + π ) x ) + 2 1 π ⋅ ( 2 1 x ) 2 4 2 K x − ( 2 + π ) x 2 + 8 1 π x 2 8 4 K x − 2 ( 2 + π ) x 2 + π x 2 8 4 K x − 4 x 2 − π x 2 2 K x − 2 1 x 2 − 8 π x 2 Luas mencapai maksimum apabila L ′ = 0 , sehingga: L ′ 2 K − x − 4 π x 2 K − 4 x − π x 2 K x = = = = = 0 0 0 ( 4 + π ) x 4 + π 2 K Diketahui K = π + 4 sehingga dapat ditentukan nilai x berikut. x = = = 4 + π 2 K 4 + π 2 ( π + 4 ) 2 Nilai y adalah sebagai berikut. y = = = = = 4 2 K − ( 2 + π ) x 4 2 ( π + 4 ) − ( 2 + π ) ⋅ 2 4 2 π + 8 − 4 − 2 π 4 4 1 Diperoleh x ⋅ y = 2 ⋅ 1 = 2 Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Luas maksimum tercapai apabila $L^{'} (x) = 0$

Ingat aturan turunan fungsi berikut!

$f (x) = a x^{n} \to f^{'} (x) = n \cdot a x^{n - 1}$

Pada soal di atas, diketahui luas taman mencapai maksimum apabila panjang dan lebar taman tersebut berturut-turut $x$ dan $y$ satuan panjang, serta kelilingnya $K = π + 4$ .

$K K 2 y 2 y y = = = = = x + 2 y + \frac{1}{2} \cdot π \cdot x x + 2 y + \frac{π x}{2} K - (x + \frac{π x}{2}) \frac{2 K - ( 2 + π ) x}{2} \frac{2 K - ( 2 + π ) x}{4}$

Luas taman tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

$L = = = = = = x \cdot y + \frac{1}{2} π r^{2} x (\frac{2 K - ( 2 + π ) x}{4}) + \frac{1}{2} π \cdot (\frac{1}{2} x)^{2} \frac{2 K x - ( 2 + π ) x ^{2}}{4} + \frac{1}{8} π x^{2} \frac{4 K x - 2 ( 2 + π ) x ^{2} + π x ^{2}}{8} \frac{4 K x - 4 x ^{2} - π x ^{2}}{8} \frac{K}{2} x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{π}{8} x^{2}$

Luas mencapai maksimum apabila $L^{'} = 0$ , sehingga:

$L^{'} \frac{K}{2} - x - \frac{π}{4} x 2 K - 4 x - π x 2 K x = = = = = 000 (4 + π) x \frac{2 K}{4 + π}$

Diketahui $K = π + 4$ sehingga dapat ditentukan nilai $x$ berikut.

$x = = = \frac{2 K}{4 + π} \frac{2 ( π + 4 )}{4 + π} 2$

Nilai $y$ adalah sebagai berikut.

$y = = = = = \frac{2 K - ( 2 + π ) x}{4} \frac{2 ( π + 4 ) - ( 2 + π ) \cdot 2}{4} \frac{2 π + 8 - 4 - 2 π}{4} \frac{4}{4} 1$

Diperoleh $x \cdot y = 2 \cdot 1 = 2$

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui suatu proyek pembangunan gedung teater akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perharinya dirumuskan dalam , satuan ribu rupiah. Agar biaya produksi minimum, maka lama waktu yang ...

4.4

Jawaban terverifikasi

4.4

Jawaban terverifikasi

Diketahui f ( x ) = ( 1 + a ) x 3 − 2 b x 2 − 12 x − 9 habis dibagi oleh ( x − 1 ) . Jika kurva y = f ( x ) mempunyai titik ekstrem lokal ( 2 , f ( 2 ) ) maka nilai a + b = …

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui f ( x ) = ( 1 + a ) x 3 − 2 b x 2 − 12 x − 9 habis dibagi oleh ( x − 1 ) . Jika kurva y = f ( x ) mempunyai titik ekstrem lokal ( 2 , f ( 2 ) ) maka nilai a + b = …

5.0

Jawaban terverifikasi

Seorang anak berjalan dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh s ( t ) = 3 1 t 3 − 2 7 t 2 + 12 t + 2 dengan satuan jarak s ( t ) adalah meter dan satuan waktu t adalah detik. Pada saat percepa...

3.0

Jawaban terverifikasi