Sebuah kampanye iklan suatu produk baru ditargetkan membuat 20 persen penduduk dewasa sebuah kota metropolitan memerhatikan produk itu. Sesudah kampanye, suatu sampel acak dari 400 orang dewasa ditemui. a. Tentukan perkiraan probabilitas bahwa 60 atau lebih sedikit orang dewasa dalam sampel yang memerhatikan produk itu. b. Akankah perkiraan probabilitas pada poin a tepat?

Pembahasan

Jawaban yang tepat untuk pertanyaan tersebut adalahprobabilitas diperkirakan 0 , 0062 dan perkiraan probabilitas pada poin a tepat. Pendekatan Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal Misalkan suatu data eksperimen dari n percobaan dimana peluang sukses untuk tiap percobaan adalah dan peluang gagalnya q dengan q = 1 − p memenuhi distribusi binomial, maka secara matematis nilai rata-rata dan simpangan baku sebagai berikut: μ σ ​ = = ​ n p n pq ​ ​ Dari soal di atas, diketahui banayk percobaan adalah n = 400 dan peluang sukses p = 20% = 0 , 2 sehingga peluang gagalnya q = 1 − p = 1 − 0 , 2 = 0 , 8 . Eksperimen ini tergolong distribusi binomial dengan: μ σ ​ = = = = = = = ​ n p ( 400 ) ( 0 , 2 ) 80 n pq ​ 80 ( 0 , 8 ) ​ 64 ​ 8 ​ a. Ditanyakanperkiraan probabilitas bahwa 60 atau lebih sedikit orang dewasa dalam sampel yang memerhatikan produk itu. Variabel acak X ∼ N ( μ , σ ) dapat ditransformasikan menjadi Z ∼ N ( 0 , 1 ) dengan rumus transformasi Z = σ X − μ ​ . Variabel acak X berdistribusi normal dengan μ = 80 dan σ = 8 . Diminta menghitung P ( X ≤ 60 ) , yang artinya X = 60 . Hitung dahulu Z : Z ​ = = = = ​ σ X − μ ​ 8 60 − 80 ​ 8 − 20 ​ − 2 , 5 ​ Diperoleh P ( X ≤ 60 ) = P ( Z ≤ − 2 , 5 ) . Ingat sifat berikut! Untuk bentuk P ( Z < a ) = P ( Z ≤ a ) dengan bilangan negatif, maka P ( Z < a ) = P ( Z > ∣ a ∣ ) = 0 , 5 − P ( 0 < Z < ∣ a ∣ ) dengan P ( 0 < Z < ∣ a ∣ ) diperoleh dari tabel distribusi normal baku. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh: P ( Z ≤ − 2 , 5 ) ​ = = = = = ​ P ( Z > ∣ − 2 , 5 ∣ ) P ( Z > 2 , 5 ) 0 , 5 − P ( 0 < Z < 2 , 5 ) 0 , 5 − 0 , 4938 0 , 0062 ​ Diperoleh probabilitas bahwaprobabilitas bahwa 60 atau lebih sedikit orang dewasa dalam sampel yang memerhatikan produk itu diperkirakan 0 , 0062 . b. Perkiraan probabilitas pada poin a Pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial menggunakan mean binomial dan simpangan baku binomial bisa diterima asalkan keduanya lebih besar daripada 5 . Perhatikan μ = 80 dan σ = 8 keduanya lebih besar daripada 5 . Maka pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial adalah tepat. Dengan demikian, probabilitas diperkirakan 0 , 0062 dan perkiraan probabilitas pada poin a adalah tepat.