Pertanyaan

Persamaan polinomial x 3 − 5 x 2 + 8 x + n = 0 mempunyai dua akar kembar. Jika akar-akar polinomial tersebut adalah bilangan bulat, nilai n adalah ....

Persamaan polinomial $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + n = 0$ mempunyai dua akar kembar. Jika akar-akar polinomial tersebut adalah bilangan bulat, nilai $n$ adalah ....

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

Jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Ingat : Persamaan dengan akar-akar berlaku: Misalkan memiliki akar . Karena akar kembar , maka Dari Persamaan (1) dan (2) Persamaan (1) bisa kita modifikasi menjadi Sehingga Karena akar polinomial bilangan bulat, maka dipilih Substitusikan nilai a dan c pada persamaan (3) Jadi, Jawaban yang tepat adalah E.

Ingat :
Persamaan dengan akar-akar berlaku:

$begin mathsize 14px style x subscript 1 plus x subscript 2 plus x subscript 3 equals fraction numerator negative straight b over denominator straight a end fraction x subscript 1 times x subscript 2 plus x subscript 3 times x subscript 1 plus x subscript 2 times x subscript 3 equals straight c over straight a x subscript 1 times x subscript 2 times x subscript 3 equals fraction numerator negative straight d over denominator straight a end fraction end style$

Misalkan memiliki akar straight a comma space straight b space dan space straight c .
Karena akar kembar straight a equals straight b , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight a plus straight b plus straight c end cell equals cell fraction numerator negative left parenthesis negative 5 right parenthesis space space space over denominator 1 end fraction not stretchy left right double arrow 2 straight a plus straight c equals 5 space horizontal ellipsis horizontal ellipsis space left parenthesis 1 right parenthesis end cell row cell straight a times straight b plus straight a times straight c plus straight b times straight c end cell equals cell 8 space space space space space space space space space space space space left right double arrow space straight a squared plus 2 ac equals 8 space horizontal ellipsis horizontal ellipsis space left parenthesis 2 right parenthesis end cell row cell straight a times straight b times straight c end cell equals cell fraction numerator negative left parenthesis straight n right parenthesis over denominator 1 end fraction space space space space space space not stretchy left right double arrow space straight a ² straight c equals negative straight n space horizontal ellipsis horizontal ellipsis space left parenthesis 3 right parenthesis end cell end table end style$

Dari Persamaan (1) dan (2)
Persamaan (1) bisa kita modifikasi menjadi
Sehingga

Karena akar polinomial bilangan bulat, maka dipilih

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row c equals cell 5 minus 2 a end cell row blank equals cell 5 minus 2.2 end cell row blank equals 1 end table end style

Substitusikan nilai a dan c pada persamaan (3)

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell negative n end cell equals cell a squared c end cell row cell negative n end cell equals cell 2 squared times 1 end cell row cell negative n end cell equals 4 row n equals cell negative 4 end cell end table end style

Jadi, Jawaban yang tepat adalah E.