Pertanyaan

Penyelesaian dari pertidaksamaan csc x ( 1 − cot x ) < 0 pada intervalpada ( π , 2 π ) adalah interval ( a , b ) . Nilai dari a + b adalah ....

Penyelesaian dari pertidaksamaan $csc x (1 - cot x) < 0$ pada interval pada $(π, 2 π)$ adalah interval $(a, b)$ . Nilai dari $a + b$ adalah ....

$begin mathsize 14px style fraction numerator 9 pi over denominator 4 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator 11 pi over denominator 4 end fraction end style$

O. Rahmawati

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni UIN Sunan Gunung Djati Bandung

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan bahwa Pembuat nol dari bentuk di ruas kiri adalah sebagai berikut. Perhatikan bahwa untuk bilangan real , tidak ada yang memenuhi persamaan . Dengan kata lain, yang berlaku pasti . Akibatnya, didapat hasil sebagai berikut. Karena interval yang digunakan adalah , maka berada di kuadran III atau IV. Akibatnya, dari persamaan , nilai yang memenuhi adalah . Perhatikan garis bilangan berikut! Karena tanda pertidaksamaan yang digunakan adalah , maka pilih daerah yang bernilai negatif, yaitu . Penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam notasi interval sebagai berikut. Pada soal diketahui himpunan penyelesaiannya adalah , maka . Akibatnya, didapat perhitungan sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style csc invisible function application x left parenthesis 1 minus cot invisible function application x right parenthesis less than 0 end style

Pembuat nol dari bentuk di ruas kiri adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style csc x open parentheses 1 minus cot x close parentheses equals 0 csc x equals 0 space atau space cot x equals 1 end style

Perhatikan bahwa untuk begin mathsize 14px style x end style bilangan real, tidak ada yang memenuhi persamaan begin mathsize 14px style csc x equals 0 end style . Dengan kata lain, yang berlaku pasti begin mathsize 14px style cot x equals 1 end style .

Akibatnya, didapat hasil sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cot invisible function application x end cell equals 1 row cell fraction numerator 1 over denominator tan invisible function application x end fraction end cell equals 1 row cell tan invisible function application x end cell equals 1 end table end style$

Karena interval yang digunakan adalah begin mathsize 14px style left parenthesis pi comma space 2 pi right parenthesis end style , maka begin mathsize 14px style x end style berada di kuadran III atau IV. Akibatnya, dari persamaan begin mathsize 14px style tan x equals 1 end style , nilai yang memenuhi adalah $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction end style$ .

Perhatikan garis bilangan berikut!

Karena tanda pertidaksamaan yang digunakan adalah begin mathsize 14px style less than end style , maka pilih daerah yang bernilai negatif, yaitu $begin mathsize 14px style fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction less than x less than 2 pi end style$ . Penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam notasi interval sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style open parentheses fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction comma 2 pi close parentheses end style$

Pada soal diketahui himpunan penyelesaiannya adalah begin mathsize 14px style left parenthesis a comma space b right parenthesis end style , maka $begin mathsize 14px style a equals fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction comma space b equals 2 pi end style$ .

Akibatnya, didapat perhitungan sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a plus b end cell equals cell fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction plus 2 pi end cell row blank equals cell fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 8 pi over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 13 pi over denominator 4 end fraction end cell end table end style$

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.