Roboguru

Penyelesaian 3tanx+cotx>5cscx; pada 0∘<x<180∘, adalah ....

Pertanyaan

Penyelesaian 3 space tan space x plus cot space x greater than 5 csc space x; pada 0 degree less than x less than 180 degree, adalah ....

  1. 0 degree less than x less than 60 degree 

  2. 0 degree less than x less than 90 degree 

  3. 0 degree less than x less than 120 degree 

  4. 60 degree less than x less than 90 degree 

  5. 120 degree less than x less than 180 degree 

Pembahasan Video:

Pembahasan Soal:

Gunakan konsep penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dengan garis bilangan dan persamaan trigonometri.

cos space x equals cos space alpha rightwards arrow open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals alpha plus k times 360 degree end cell row cell x equals negative alpha plus k times 360 degree end cell end table close

Ingat kembali nilai trigonometri pada sudut istimewa dengan menggunakan tabel trigonometri, perbandingan dan identitas trigonometri sebagai berikut.
 


 

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell sin squared space x plus cos squared space x end cell equals 1 row cell tan space x end cell equals cell fraction numerator sin space x over denominator cos space x end fraction end cell row cell cot space x end cell equals cell fraction numerator cos space x over denominator sin space x end fraction end cell row cell csc space x end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator sin space x end fraction end cell end table

Diketahui interval 0 degree less or equal than x less or equal than 180 degree dan 3 space tan space x plus cot space x greater than 5 csc space x, akan ditentukan interval nilai x yang memenuhi.

Terlebih dahulu ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk pertidaksamaan trigonometri sederhana.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell 3 space tan space x plus cot space x end cell greater than cell 5 csc space x end cell row cell 3 space tan space x plus cot space x minus 5 csc space x end cell greater than 0 row cell 3 fraction numerator sin space x over denominator cos space x end fraction plus fraction numerator cos space x over denominator sin space x end fraction minus 5 fraction numerator 1 over denominator sin space x end fraction end cell greater than 0 row cell fraction numerator 3 space sin space x over denominator cos space x end fraction plus fraction numerator cos space x over denominator sin space x end fraction minus fraction numerator 5 over denominator sin space x end fraction end cell greater than 0 row cell fraction numerator 3 space sin squared space x plus cos squared space x minus 5 cos space x over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell greater than 0 row cell fraction numerator 2 space sin squared space x plus left parenthesis sin squared x plus cos squared space x right parenthesis minus 5 cos space x over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell greater than 0 row cell fraction numerator 2 space sin squared space x plus 1 minus 5 cos space x over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell greater than 0 row cell fraction numerator 2 space left parenthesis 1 minus cos squared space x right parenthesis plus 1 minus 5 cos space x over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell greater than 0 row cell fraction numerator negative 2 cos squared space x minus 5 cos space x plus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell greater than 0 row cell fraction numerator 2 cos squared space x plus 5 cos space x minus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell less than 0 end table

tentukan nilai x yang memenuhi dengan menggunakan cara mengubah ke pertidaksamaan trigonometri menjadi persamaan trigonometri.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px 2px 2px end attributes row cell fraction numerator 2 cos squared space x plus 5 cos space x minus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell equals 0 row cell 2 cos squared x plus 5 cos space x minus 3 end cell equals 0 row cell misal space t equals cos space x end cell blank blank row cell 2 t squared plus 5 t minus 3 end cell equals 0 row cell 1 half left parenthesis 2 t plus 6 t right parenthesis left parenthesis 2 t minus 1 right parenthesis end cell equals 0 row cell open parentheses t plus 3 close parentheses open parentheses 2 t minus 1 close parentheses end cell equals 0 row cell t plus 3 equals 0 end cell blank cell 2 t minus 1 equals 0 end cell row cell t equals negative 3 left parenthesis T M right parenthesis end cell blank cell t equals 1 half end cell row cell t equals 1 half end cell blank blank row cell cos space x equals 1 half end cell blank blank row cell cos space x equals cos space 60 degree end cell blank blank end table
Dengan menggunakan persamaan trigonometri diperoleh sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell cos space x equals cos space alpha end cell rightwards arrow cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals alpha plus k times 360 degree end cell row cell x equals negative alpha plus k times 360 degree end cell end table close end cell row cell cos space x equals cos space 60 degree end cell rightwards arrow cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 60 degree plus k times 360 degree end cell row cell x equals negative 60 degree plus k times 360 degree end cell end table close end cell end table

Untuk x equals 60 degree plus k times 360 degree.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell k equals 0 end cell rightwards arrow cell x equals 60 degree plus open parentheses 0 close parentheses times 360 degree equals 60 degree end cell row cell k equals 1 end cell rightwards arrow cell x equals 60 degree plus open parentheses 1 close parentheses times 360 degree equals 420 degree space open parentheses tidak space memenuhi close parentheses end cell end table

Untuk x equals negative 60 degree plus k times 360 degree.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell k equals 0 end cell rightwards arrow cell x equals negative 60 degree plus open parentheses 0 close parentheses times 360 degree equals negative 60 degree space open parentheses tidak space memenuhi close parentheses end cell row cell k equals 1 end cell rightwards arrow cell x equals negative 60 degree plus open parentheses 1 close parentheses times 360 degree equals 300 degree space open parentheses tidak space memenuhi close parentheses end cell end table

Sehingga nilai xyang memenuhi syarat 0 degree less than x less than 180 degree adalah 60 degree.

Kemudian tetapkan tanda positif atau negatif yang sesuai dengan mensubstitusikan nilai x pada setiap daerah interval pada fungsi fraction numerator 2 cos squared space x plus 5 cos space x minus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction pada garis bilangan.
Karena penyebut tidak boleh nol, maka x not equal to left curly bracket 90 to the power of 0 right curly bracket. Sehingga batas batas pada garis bilangan adalah 0 to the power of 0 comma 60 to the power of 0 comma 90 to the power of 0 comma space dan space 180 to the power of 0.
Tanda positif dan negatif pada garis bilangan dapat diperoleh sebagai berikut.

*Menentukan tanda di antara 0 degree dan 60 degree pilih sudut 30 degree.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell fraction numerator 2 cos squared space x plus 5 cos space x minus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell equals cell fraction numerator 2 cos squared space left parenthesis 30 to the power of 0 right parenthesis plus 5 cos space left parenthesis 30 to the power of 0 right parenthesis minus 3 over denominator cos space left parenthesis 30 to the power of 0 right parenthesis cross times sin space left parenthesis 30 to the power of 0 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style 3 over 2 end style plus begin display style fraction numerator 5 square root of 3 over denominator 2 end fraction end style minus 3 over denominator left parenthesis plus right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator left parenthesis plus right parenthesis over denominator left parenthesis plus right parenthesis end fraction equals left parenthesis plus right parenthesis end cell end table

Karena hasilnya bernilai positif, maka tanda di antara 0 degree dan 60 degree adalah positif.

*Menentukan tanda di antara 60 degree dan 90 degree pilih sudut 75 degree (gunakan kalkulator).

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell fraction numerator 2 cos squared space x plus 5 cos space x minus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell equals cell fraction numerator 2 cos squared space left parenthesis 75 to the power of 0 right parenthesis plus 5 cos space left parenthesis 75 to the power of 0 right parenthesis minus 3 over denominator cos space left parenthesis 75 to the power of 0 right parenthesis cross times sin space left parenthesis 75 to the power of 0 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 0 comma 13 plus begin display style 1 comma 29 end style minus 3 over denominator left parenthesis plus right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator left parenthesis negative right parenthesis over denominator left parenthesis plus right parenthesis end fraction equals left parenthesis negative right parenthesis end cell end table

Karena hasilnya bernilai negatif, maka tanda di antara 60 degree dan 90 degree adalah negatif.

*Menentukan tanda di antara 90 degree dan 180 degree pilih sudut 120 degree (gunakan kalkulator).

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell fraction numerator 2 cos squared space x plus 5 cos space x minus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction end cell equals cell fraction numerator 2 cos squared space left parenthesis 120 to the power of 0 right parenthesis plus 5 cos space left parenthesis 120 to the power of 0 right parenthesis minus 3 over denominator cos space left parenthesis 120 to the power of 0 right parenthesis cross times sin space left parenthesis 120 to the power of 0 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style 1 half end style minus begin display style 5 over 2 end style minus 3 over denominator left parenthesis negative right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator left parenthesis negative right parenthesis over denominator left parenthesis negative right parenthesis end fraction equals left parenthesis plus right parenthesis end cell end table

Karena hasilnya bernilai positif, maka tanda di antara 90 degree dan 180 degree adalah positf.


Sehingga diperoleh gambar garis bilangan seperti berikut.


Karena tanda pertidaksamaan adalah less than, maka daerah yang memenuhi pertidaksamaan fraction numerator 2 cos squared space x plus 5 cos space x minus 3 over denominator cos space x times sin space x end fraction less than 0 adalah yang bertanda negatif, yaitu 60 degree less than x less than 90 degree.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Puspita

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Pada interval 0∘≤x≤180∘ pernyataan 4cos2x−3≤0 benar apabila ....

0

Roboguru

Tentukanlah penyelesaian dari 3cotx+tanx≥5secx pada interval 0∘<x<360∘.

1

Roboguru

Pada interval 0∘≤x≤180∘ pernyataan 3tan(2x+120∘)≤3​ benar apabila ....

0

Roboguru

Pada interval 0∘≤x≤180∘ pernyataan 2sin2x≤1 benar apabila ....

0

Roboguru

tan4x−2sec2x−1<0; 0∘<x<180∘, maka x berada pada interval ....

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved