Pertanyaan

Panjang tali busur persekutuan dari dua lingkaran ( x + 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 dan ( x + 5 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 16 adalah . . .

Panjang tali busur persekutuan dari dua lingkaran $(x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ dan $(x + 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ adalah . . .

$4 \frac{4}{5}$
$3 \frac{4}{5}$
$2 \frac{4}{5}$
$1 \frac{4}{5}$
$\frac{4}{5}$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat! Apabila persamaan lingkaran adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 maka titik pusat lingkaran tersebut adalah P ( − a , − b ) dan jari- jari lingkaran adalah r . Apabila persamaan dua buah lingkaran adalah L 1 : x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 L 2 : x 2 + y 2 + P x + Q y + S = 0 maka persamaan tali busurnya adalah: ( A − P ) x + ( B − Q ) y + ( C − S ) = 0 Apabila diketahui titik P ( X , Y ) dan persamaan garis a x + b y + c = 0 , maka jarak titik terhadap garisadalah: Jaraktitikkegaris = ∣ ∣ a 2 + b 2 a X 1 + b Y 1 + C ∣ ∣ Misalkan adalah sisi miring segitiga siku- siku, dan b adalah sisi tegaknya, maka berlaku rumus pitagoras c 2 = a 2 + b 2 Diketahui L 1 : ( x + 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 maka titik pusatnya adalah P 1 ( − a , − b ) = P 1 ( − 2 , − ( − 2 )) = P 1 ( − 2 , 2 ) dan jari jarinya adalah r 1 = 9 = 3 . Uraikan persamaan L 1 sehingga menjadi bentuk umum persamaan lingkaran. ( x + 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) + ( y 2 − 4 y + 4 ) x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 4 + 4 − 9 x 2 + y 2 + 4 x − 4 y − 1 = = = = 9 9 0 0 Diketahui L 2 : ( x + 5 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 16 maka titik pusatnya adalah P 2 ( − a , − b ) = P 2 ( − 5 , − 2 ) dan jari jarinya adalah r 2 = 16 = 4 . Uraikan persamaan L 2 sehingga menjadi bentuk umum persamaan lingkaran. ( x + 5 ) 2 + ( y + 2 ) 2 ( x 2 + 10 x + 25 ) + ( y 2 + 4 y + 4 ) x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 25 + 4 − 16 x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 13 = = = = 16 16 0 0 Persamaan tali busur dari lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 4 y − 1 = 0 dan x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 13 = 0 adalah: ( A − P ) x + ( B − Q ) y + ( C − S ) ( 4 − 10 ) x + ( − 4 − 4 ) y + ( − 1 − 13 ) − 6 x − 8 y − 14 = = = 0 0 0 Perhatikan gambar berikut. Panjang tali busur adalah CD . Untuk mencari CD kita harus mengetahui panjang AD dan AE terlebih dahulu. Panjang AD sama dengan jari jari L 1 yaitu 3 . Panjang AE sama dengan jarak titik ( − 2 , 2 ) ke garis − 6 x − 8 y − 14 = 0 , sehingga: Jaraktitikterhadapgaris = = = = = = ∣ ∣ a 2 + b 2 a X 1 + b Y 1 + C ∣ ∣ ∣ ∣ ( − 6 ) 2 + ( − 8 ) 2 ( − 6 ) ( − 2 ) + ( − 8 ) ( 2 ) − 14 ∣ ∣ ∣ ∣ 36 + 64 12 − 16 − 14 ∣ ∣ ∣ ∣ 100 − 18 ∣ ∣ 10 18 5 9 Selanjutnya kita akan mencari panjang DE DE = = = = = = AD 2 − AE 2 3 2 − ( 5 9 ) 2 9 − 25 81 25 225 − 81 25 144 5 12 Dengan demikian, panjang tali busur adalah: panjangtalibusur = = = = = CD 2 ⋅ DE 2 ⋅ 5 12 5 24 4 5 4 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Ingat!

Apabila persamaan lingkaran adalah $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ maka titik pusat lingkaran tersebut adalah $P (- a, - b)$ dan jari- jari lingkaran adalah $r$ .
Apabila persamaan dua buah lingkaran adalah

$L_{1} : x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 L_{2} : x^{2} + y^{2} + P x + Q y + S = 0$

maka persamaan tali busurnya adalah:

$(A - P) x + (B - Q) y + (C - S) = 0$

Apabila diketahui titik $P (X, Y)$ dan persamaan garis $a x + b y + c = 0$ , maka jarak titik terhadap garis adalah:

$Jarak titik ke garis = ∣ ∣ \frac{a X _{1} + b Y _{1} + C}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣$

Misalkan $c$ adalah sisi miring segitiga siku- siku, $a$ dan $b$ adalah sisi tegaknya, maka berlaku rumus pitagoras $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Diketahui $L_{1 :} (x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ maka titik pusatnya adalah $P_{1} (- a, - b) = P_{1} (- 2, - (- 2)) = P_{1} (- 2, 2)$ dan jari jarinya adalah $r_{1} = 9 = 3$ .

Uraikan persamaan $L_{1}$ sehingga menjadi bentuk umum persamaan lingkaran.

$(x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} (x^{2} + 4 x + 4) + (y^{2} - 4 y + 4) x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 4 + 4 - 9 x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 1 = = = = 9900$

Diketahui $L_{2 :} (x + 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ maka titik pusatnya adalah $P_{2} (- a, - b) = P_{2} (- 5, - 2)$ dan jari jarinya adalah $r_{2} = 16 = 4$ .

Uraikan persamaan $L_{2}$ sehingga menjadi bentuk umum persamaan lingkaran.

$(x + 5)^{2} + (y + 2)^{2} (x^{2} + 10 x + 25) + (y^{2} + 4 y + 4) x^{2} + y^{2} + 10 x + 4 y + 25 + 4 - 16 x^{2} + y^{2} + 10 x + 4 y + 13 = = = = 161600$

Persamaan tali busur dari lingkaran $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 1 = 0$ dan $x^{2} + y^{2} + 10 x + 4 y + 13 = 0$ adalah:

$(A - P) x + (B - Q) y + (C - S) (4 - 10) x + (- 4 - 4) y + (- 1 - 13) - 6 x - 8 y - 14 = = = 000$

Perhatikan gambar berikut.

Panjang tali busur adalah $CD$ . Untuk mencari $CD$ kita harus mengetahui panjang $AD$ dan $AE$ terlebih dahulu. Panjang $AD$ sama dengan jari jari $L_{1}$ yaitu $3$ . Panjang $AE$ sama dengan jarak titik $(- 2, 2)$ ke garis $- 6 x - 8 y - 14 = 0$ , sehingga:

$Jarak titik terhadap garis = = = = = = ∣ ∣ \frac{a X _{1} + b Y _{1} + C}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{( - 6 ) ( - 2 ) + ( - 8 ) ( 2 ) - 14}{( - 6 ) ^{2} + ( - 8 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{12 - 16 - 14}{36 + 64} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 18}{100} ∣ ∣ \frac{18}{10} \frac{9}{5}$

Selanjutnya kita akan mencari panjang $DE$

$DE = = = = = = AD^{2} - AE^{2} 3^{2} - (\frac{9}{5})^{2} 9 - \frac{81}{25} \frac{225 - 81}{25} \frac{144}{25} \frac{12}{5}$

Dengan demikian, panjang tali busur adalah:

$panjang tali busur = = = = = CD 2 \cdot DE 2 \cdot \frac{12}{5} \frac{24}{5} 4 \frac{4}{5}$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.8 (8 rating)

Hawa Dila Ananda XI MIPA 4

Makasih ❤️ Pembahasan lengkap banget Bantu banget

Pertanyaan serupa

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua lingkaran yang tidak sepusat yaitu: Lingkaran L 1 : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 3 = 0 , pusat A, lingkaran L 2 : x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat B. Jika persamaan garis singgung pe...

3.0

Jawaban terverifikasi