Pertanyaan

Panjang garis singgung yang ditarik dari titik R ( 4 , 5 ) terhadap lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 2 k x = 0 sama dengan satu satuan panjang. Hitunglah nilai k .

Panjang garis singgung yang ditarik dari titik $R (4, 5)$ terhadap lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + 2 k x = 0$ sama dengan satu satuan panjang. Hitunglah nilai $k$ .

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai k adalah − 5 .

nilai

k

adalah

- 5

Pembahasan

Ingat! Persamaan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di titik ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dan berjari-jari r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C . Berdasarkan konsep tersebut makalingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 2 k x = 0 berpusat di titik ( − 2 1 A , − 2 1 B ) = ( − 2 1 ⋅ 2 k , − 2 1 ⋅ 0 ) = ( − k , 0 ) dan berjari-jari r = = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( 2 k ) 2 + 4 1 ( 0 ) 2 − 0 4 1 ⋅ 4 k 2 + 4 1 ⋅ 0 + 0 k 2 + 0 + 0 k 2 ∣ k ∣ Perhatikan gambar di bawah ini. Berdasarkan gambar di atas, panjang garis singgung dari titik R ( 4 , 5 ) ke lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 2 k x = 0 adalah RB = 1 satuan panjangdan ditentukan oleh: RB 1 1 2 MR 2 = = = = MR 2 − r 2 MR 2 − k 2 MR 2 − k 2 1 + k 2 dengan MR adalah jarak titik R ( 4 , 5 ) ke pusat lingkaran yaitu titik ( − k , 0 ) . MR MR 2 1 + k 2 1 + k 2 0 0 8 k k k = = = = = = = = = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( − k − 4 ) 2 + ( 0 − 5 ) 2 ( − k − 4 ) 2 + ( − 5 ) 2 ( − k − 4 ) 2 + 25 ( − k − 4 ) 2 + 25 k 2 + 8 k + 16 + 25 k 2 + 8 k + 41 k 2 + 8 k + 41 − k 2 − 1 8 k + 40 − 40 − 8 40 − 5 Jadi, nilai k adalah − 5 .

Ingat!

Persamaan lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di titik $(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dan berjari-jari $r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$ .

Berdasarkan konsep tersebut maka lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + 2 k x = 0$ berpusat di titik $(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) = (- \frac{1}{2} \cdot 2 k, - \frac{1}{2} \cdot 0) = (- k, 0)$ dan berjari-jari

$r = = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (2 k)^{2} + \frac{1}{4} (0)^{2} - 0 \frac{1}{4} \cdot 4 k^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0 + 0 k^{2} + 0 + 0 k^{2} ∣ k ∣$

Perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, panjang garis singgung dari titik $R (4, 5)$ ke lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + 2 k x = 0$ adalah $RB = 1$ satuan panjang dan ditentukan oleh:

$RB 1 1^{2} MR^{2} = = = = MR^{2} - r^{2} MR^{2} - k^{2} MR^{2} - k^{2} 1 + k^{2}$

dengan $MR$ adalah jarak titik $R (4, 5)$ ke pusat lingkaran yaitu titik $(- k, 0)$ .

$MR MR^{2} 1 + k^{2} 1 + k^{2} 00 8 k k k = = = = = = = = = = = = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} (- k - 4)^{2} + (0 - 5)^{2} (- k - 4)^{2} + (- 5)^{2} (- k - 4)^{2} + 25 (- k - 4)^{2} + 25 k^{2} + 8 k + 16 + 25 k^{2} + 8 k + 41 k^{2} + 8 k + 41 - k^{2} - 1 8 k + 40 - 40 - \frac{40}{8} - 5$