Pertanyaan

Misalkan titik A dan B pada lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + k = 0 , sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C ( 8 , 1 ) . Jika luas segiempat yang melalui A , B , C dan pusat lingkaran adalah 12 , maka k = …

Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + k = 0$ , sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C (8, 1)$ . Jika luas segiempat yang melalui $A$ , $B$ , $C$ dan pusat lingkaran adalah $12$ , maka $k = \dots$

$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Ingat apabila diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dapat ditentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan rumus berikut. P ( − 2 1 A , − 2 1 B ) r = 4 A 2 + 4 B 2 − C Diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + k = 0 sehingga diperoleh P= ( − 2 1 A , − 2 1 B ) = ( − 2 ( − 6 ) , − 2 ( − 2 ) ) = ( 3 , 1 ) Lingkaran pada soal di atas dapat digambarkan sebagai berikut. Panjang PC dapat ditentukan sebagai berikut. PC = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( 8 − 3 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 25 + 0 5 Panjang jari-jari lingkaran tersebut, yaitu AP = = = 4 ( − 6 ) 2 + 4 ( − 2 ) 2 − k 9 + 1 − k 10 − k Panjang AC dapat ditentukan sebagai berikut. AC = = = PC 2 − AP 2 5 2 − ( 10 − k ) 15 + k Luas segiempat tersebut, yaitu k = − 6 atau k = 1 Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Ingat apabila diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dapat ditentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan rumus berikut.

$P (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$

$r = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C$

Diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + k = 0$ sehingga diperoleh

$P= (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) = (- \frac{( - 6 )}{2}, - \frac{( - 2 )}{2}) = (3, 1)$

Lingkaran pada soal di atas dapat digambarkan sebagai berikut.

Panjang $PC$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$PC = = = = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} (8 - 3)^{2} + (1 - 1)^{2} 25 + 0 5$

Panjang jari-jari lingkaran tersebut, yaitu

$AP = = = \frac{( - 6 ) ^{2}}{4} + \frac{( - 2 ) ^{2}}{4} - k 9 + 1 - k 10 - k$

Panjang $AC$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$AC = = = PC^{2} - AP^{2} 5^{2} - (10 - k) 15 + k$

Luas segiempat tersebut, yaitu

$\begin{array}{rcl}{\text{L}}_\text{ABCP}&=&2\cdot{\text{L}}_\text{ACP}\\12&=&2\cdot\left(\frac12\cdot\text{AP·AC}\right)\\12&=&\text{AP·AC}\\12&=&\sqrt{10-k}\cdot\sqrt{15+k}\\12&=&\sqrt{\left(10-k\right)\left(15+k\right)}\\144&=&150-5k-k^2\\k^2+5k-6&=&0\\\left(k+6\right)\left(k-1\right)&=&0\end{array}$

$k = - 6 atau k = 1$

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jika panjang jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y − 4 = 0 adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + 17 = 0 , maka panjang jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah ......

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-x di ( 1 , 0 ) dan ( 3 , 0 ) . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-y, maka titik singgung yang mungkin adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-x di ( 1 , 0 ) dan ( 3 , 0 ) . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-y, maka titik singgung yang mungkin adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika lingkaran x 2 + y 2 − a x − a y − a = 0 mempunyai panjang jari-jari , maka nilai adalah ....

2.8

Jawaban terverifikasi