Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat x 2 − 10 x + a = 0 mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat x 2 + 10 x − a = 0 dimana a adalah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan x 2 + 2 a x − 5 = 0 adalah .... (SIMAK UI 2015)

Pembahasan

Ingat kembali bahwa jika dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat , maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya masing-masing adalah sebagai berikut. dan Perhatikan persamaan kuadrat pertama! Andaikan dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat di atas, maka dan Kemudian, perhatikan persamaan kuadrat yang kedua! Pada soal diketahui bahwa salah satu akar persamaan kuadrat yang pertama berlawanan tanda dengan salah satu akar persamaan kuadrat yang kedua. Andaikan adalah salah satu akar persamaan kuadrat yang kedua. Andaikan pula adalah akarnya yang lain. Kita peroleh bahwa akar-akar persamaan kuadrat yang kedua adalah dan , sehingga dan Dengan melakukan eliminasi padapersamaan (i) dan (ii), kita peroleh Kemudian, dengan substitusi dan ke persamaan akhir di atas, didapat Sekarang, perhatikan persamaan kuadrat ketiga! Dengan substitusi nilai , diperoleh Andaikan dan adalah akar-akar persamaan kuadrat ketiga, maka dan Dengan demikian, jumlah kuadrat dari akar-akarnya adalah Jadi, jawaban yang tepat adalah E.