Pertanyaan

Misalkan sin 2 x − sin 2 x = 20 sin x + 10 cos x − 1 dengan 2 π ≤ x ≤ π . Jika tan 2 x = a , maka nilai a ( a − 4 ) adalah ...

Misalkan $sin 2 x - sin^{2} x = 20 sin x + 10 cos x - 1$ dengan $\frac{π}{2} \leq x \leq π$ . Jika $tan \frac{x}{2} = a$ , maka nilai $a (a - 4)$ adalah ...

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Ingat rumus trigonometri berikut! sin 2 x = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x tan 2 x = 1 − tan 2 x 2 ⋅ tan x sin 2 x + cos 2 x = 1 cos x sin x = tan x Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. sin 2 x − sin 2 x 2 ⋅ sin x ⋅ cos x − sin 2 x = = 20 ⋅ sin x + 10 ⋅ cos x − 1 20 ⋅ sin x + 10 ⋅ cos x − ( sin 2 x + cos 2 x ) Ubah ruas kanan menjadi nol sehingga 2 ⋅ sin x ⋅ cos x − 20 ⋅ sin x − 10 ⋅ cos x + cos 2 x 2 ⋅ sin x ( cos x − 10 ) + cos x ( cos x − 10 ) ( 2 ⋅ sin x + cos x ) ( cos x − 10 ) = = = 0 0 0 Diperoleh persamaan 1: 2 ⋅ sin x + cos x 2 ⋅ sin x c o s x s i n x tan x = = = = 0 − cos x − 2 1 − 2 1 Persamaan 2: cos x − 10 cos x = = 0 10 Persamaan 2 tidak memenuhi karena nilai maksimum dari cos x = 1 Jika diketahui tan x = − 2 1 dan tan 2 x = a , maka dengan menggunakan rumus sudut rangkap diperoleh hubungan berikut. tan 2 x = 1 − tan 2 x 2 ⋅ tan x sehingga tan x 1 − t a n 2 2 x 2 ⋅ t a n 2 x 4 ⋅ tan 2 x tan 2 2 x − 4 ⋅ tan 2 x − 1 a 2 − 4 a − 1 a 2 − 4 a a ( a − 4 ) = = = = = = = − 2 1 − 2 1 − 1 + tan 2 2 x 0 0 1 1 Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah E.

Ingat rumus trigonometri berikut!

$sin 2 x = 2 \cdot sin x \cdot cos x$

$tan 2 x = \frac{2 \cdot tan x}{1 - tan ^{2} x}$

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

$\frac{sin x}{cos x} = tan x$

Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut.

$sin 2 x - sin^{2} x 2 \cdot sin x \cdot cos x - sin^{2} x = = 20 \cdot sin x + 10 \cdot cos x - 1 20 \cdot sin x + 10 \cdot cos x - (sin^{2} x + cos^{2} x)$

Ubah ruas kanan menjadi nol sehingga

$2 \cdot sin x \cdot cos x - 20 \cdot sin x - 10 \cdot cos x + cos^{2} x 2 \cdot sin x (cos x - 10) + cos x (cos x - 10) (2 \cdot sin x + cos x) (cos x - 10) = = = 000$

Diperoleh persamaan 1:

$2 \cdot sin x + cos x 2 \cdot sin x \frac{s i n x}{c o s x} tan x = = = = 0 - cos x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Persamaan 2:

$cos x - 10 cos x = = 010$

Persamaan 2 tidak memenuhi karena nilai maksimum dari $cos x = 1$

Jika diketahui $tan x = - \frac{1}{2}$ dan $tan \frac{x}{2} = a$ , maka dengan menggunakan rumus sudut rangkap diperoleh hubungan berikut.

$tan 2 x = \frac{2 \cdot tan x}{1 - tan ^{2} x}$

sehingga

$tan x \frac{2 \cdot t a n \frac{x}{2}}{1 - t a n ^{2} \frac{x}{2}} 4 \cdot tan \frac{x}{2} tan^{2} \frac{x}{2} - 4 \cdot tan \frac{x}{2} - 1 a^{2} - 4 a - 1 a^{2} - 4 a a (a - 4) = = = = = = = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 + tan^{2} \frac{x}{2} 0011$