Roboguru

Misal A adalah matriks berordo (2×2) dan A−1 menyatakan invers dari A, ∣A∣ menyatakan determinan A, dan k adalah sebuah konstanta. Buktikan bahwa determinan dari (kA)−1=k2∣A∣1​.

Pertanyaan

Misal A adalah matriks berordo left parenthesis 2 cross times 2 right parenthesis dan A to the power of negative 1 end exponent menyatakan invers dari A, open vertical bar A close vertical bar menyatakan determinan A, dan k adalah sebuah konstanta. Buktikan bahwa determinan dari open parentheses k A close parentheses to the power of negative 1 end exponent equals fraction numerator 1 over denominator k squared open vertical bar A close vertical bar end fraction.

Pembahasan Soal:

Ingat rumus determinan dan invers matriks berikut:

1. A equals open parentheses table row a b row c d end table close parentheses rightwards arrow open vertical bar A close vertical bar equals a times d minus b times c

2. A equals open parentheses table row a b row c d end table close parentheses rightwards arrow A to the power of negative 1 end exponent equals fraction numerator 1 over denominator a d minus b c end fraction open parentheses table row d cell negative b end cell row cell negative c end cell a end table close parentheses

Akan dibuktikan bahwa open vertical bar open parentheses k A close parentheses to the power of negative 1 end exponent close vertical bar equals fraction numerator 1 over denominator k squared open vertical bar A close vertical bar end fraction

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell k A end cell equals cell k open parentheses table row a b row c d end table close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses table row cell k a end cell cell k b end cell row cell k c end cell cell k d end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses k A close parentheses to the power of negative 1 end exponent end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator k a times k d minus k b times k c end fraction open parentheses table row cell k d end cell cell negative k b end cell row cell negative k c end cell cell k a end cell end table close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction open parentheses table row cell k d end cell cell negative k b end cell row cell negative k c end cell cell k a end cell end table close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses table row cell fraction numerator k d over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell cell fraction numerator negative k b over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell row cell fraction numerator negative k c over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell cell fraction numerator k a over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell end table close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses table row cell fraction numerator d over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell cell fraction numerator negative b over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell row cell fraction numerator negative c over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell cell fraction numerator a over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell end table close parentheses end cell row cell open vertical bar open parentheses k A close parentheses to the power of negative 1 end exponent close vertical bar end cell equals cell fraction numerator d over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction times fraction numerator a over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction minus open parentheses fraction numerator negative b over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction close parentheses open parentheses fraction numerator negative c over denominator k left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator a d over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis squared end fraction minus fraction numerator b c over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator a d minus b c over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator k squared left parenthesis a d minus b c right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator k squared open vertical bar A close vertical bar end fraction end cell end table end style

Jadi, terbukti bahwa open vertical bar open parentheses k A close parentheses to the power of negative 1 end exponent close vertical bar equals fraction numerator 1 over denominator k squared open vertical bar A close vertical bar end fraction.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

H. Janatu

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

SOAL UTBK 2019 Diketahui matriks A berukuran 2×2  dan B=(−10​32​). Jika B−A=(21​−10​) maka det(2A−1) adalah...

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

A=(acbd)Det(A)=adbc

kA=knAKet:k=konstantan=ordomatriksA=matrikasA

 

A1=A1

Diketahui bahwa B=(032) dan BA=(2110), maka:

BA(1032)A(1032)(2110)(3142)====(2110)(2110)AA

Sehingga determinan A:

Det(A)===32(4)(1)6+42

Sehingga diperoleh:

det(2A1)=====2A122A14A1242

Dengan demikian, det(2A1) adalah 2

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

 

0

Roboguru

Diketahui M=(p−1​−2p​)  dan matriks M memiliki invers. Jika det(M−1)=det(2M) , maka hasil kali semua nilai p yang mungkin adalah ....

Pembahasan Soal:

Diketahui matriks M berordo begin mathsize 14px style 2 cross times 2 end style dan memiliki invers, maka berlaku sifat

begin mathsize 14px style det left parenthesis straight M to the power of negative 1 end exponent right parenthesis equals 1 over detM det left parenthesis 2 straight M right parenthesis equals 2 squared detM equals 4 detM end style 

 

Sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell det left parenthesis straight M to the power of negative 1 end exponent right parenthesis end cell equals cell det left parenthesis 2 straight M right parenthesis end cell row cell 1 over detM end cell equals cell 4 detM end cell row 1 equals cell 4 left parenthesis detM right parenthesis squared end cell row 1 equals cell 4 left parenthesis straight p times straight p minus left parenthesis negative 2 right parenthesis times left parenthesis negative 1 right parenthesis right parenthesis squared end cell row 1 equals cell 4 left parenthesis straight p squared minus 2 right parenthesis squared end cell row cell 1 fourth end cell equals cell left parenthesis straight p squared minus 2 right parenthesis squared end cell row 0 equals cell left parenthesis straight p squared minus 2 right parenthesis squared minus 1 fourth end cell row 0 equals cell left parenthesis straight p squared minus 2 right parenthesis squared minus left parenthesis 1 half right parenthesis squared semicolon straight a squared minus straight b squared equals left parenthesis straight a plus straight b right parenthesis left parenthesis straight a minus straight b right parenthesis end cell row 0 equals cell left parenthesis straight p squared minus 2 plus 1 half right parenthesis left parenthesis straight p squared minus 2 minus 1 half right parenthesis end cell row 0 equals cell left parenthesis straight p squared minus 3 over 2 right parenthesis left parenthesis straight p squared minus 5 over 2 right parenthesis end cell end table end style 

 

Sehingga kita peroleh

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight p squared minus 3 over 2 end cell equals 0 row cell straight p squared minus open parentheses square root of 3 over 2 end root close parentheses end cell equals cell 0 semicolon straight a squared minus straight b squared equals left parenthesis straight a plus straight b right parenthesis left parenthesis straight a minus straight b right parenthesis end cell row cell open parentheses straight p minus square root of 3 over 2 end root close parentheses open parentheses straight p plus square root of 3 over 2 end root close parentheses end cell equals 0 row blank blank blank row straight p equals cell square root of 3 over 2 end root space atau space straight p equals negative square root of 3 over 2 end root end cell end table end style 

 

atau

Error converting from MathML to accessible text. 

 

Jadi, hasil kali semua nilai p yang mungkin adalah

begin mathsize 14px style square root of 3 over 2 end root times open parentheses negative square root of 3 over 2 end root close parentheses times square root of 5 over 2 end root times open parentheses negative square root of 5 over 2 end root close parentheses equals 15 over 4 end style 

0

Roboguru

Tunjukkan kebenaran persamaan berikut tanpa menghitung determinannya. ∣∣​426​130​6153​∣∣​=6∣∣​213​130​251​∣∣​

Pembahasan Soal:

Diketahui begin mathsize 14px style open vertical bar table row 4 1 6 row 2 3 15 row 6 0 3 end table close vertical bar equals 6 open vertical bar table row 2 1 2 row 1 3 5 row 3 0 1 end table close vertical bar end style.

Ingat!

Sifat determinan matriks:

"Jika ada setiap elemen pada baris (atau kolom) dari sebuah determinan dikali oleh bilangan real k, maka nilai determinan itu bernilai k kali determinan matriks awal".

Elemen pada kolom 1 merupakan kelipatan 2 dan elemen pada kolom 3 merupakan kelipatan 3. Sehingga:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open vertical bar table row 4 1 6 row 2 3 15 row 6 0 3 end table close vertical bar end cell equals cell 6 open vertical bar table row 2 1 2 row 1 3 5 row 3 0 1 end table close vertical bar end cell row cell open vertical bar table row cell 2 cross times 2 end cell 1 cell 2 cross times 3 end cell row cell 1 cross times 2 end cell 3 cell 5 cross times 3 end cell row cell 3 cross times 2 end cell 0 cell 1 cross times 3 end cell end table close vertical bar end cell equals cell 6 open vertical bar table row 2 1 2 row 1 3 5 row 3 0 1 end table close vertical bar end cell row cell 2 cross times 3 cross times open vertical bar table row 2 1 2 row 1 3 5 row 3 0 1 end table close vertical bar end cell equals cell 6 open vertical bar table row 2 1 2 row 1 3 5 row 3 0 1 end table close vertical bar end cell row cell 6 open vertical bar table row 2 1 2 row 1 3 5 row 3 0 1 end table close vertical bar end cell equals cell 6 open vertical bar table row 2 1 2 row 1 3 5 row 3 0 1 end table close vertical bar space left parenthesis terbukti right parenthesis end cell end table

Jadi, dari uraian yang telah diuraikan di atas, persamaan tersebut merupakan persamaan yang benar

0

Roboguru

Diketahui A=(1−3​21​),B=(0x​−13​),danC=(y7​−27​) . Jika det(AB)=det(−C), maka nilai x−y adalah ....

Pembahasan Soal:

Dengan menggunakan sifat

begin mathsize 14px style det left parenthesis AB right parenthesis equals det space straight A times det space straight B det left parenthesis kC subscript nxn right parenthesis equals straight k to the power of straight n times det space straight C end style 

 

dan diketahui matriks C berordo 2 × 2, maka kita peroleh

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell det left parenthesis AB right parenthesis end cell equals cell det left parenthesis negative straight C right parenthesis end cell row cell det space straight A times det space straight B end cell equals cell left parenthesis negative 1 right parenthesis squared times det space straight C end cell row cell left parenthesis 1 times 1 minus 2 times left parenthesis negative 3 right parenthesis right parenthesis left parenthesis 0 times 3 minus left parenthesis negative 1 right parenthesis times straight x right parenthesis end cell equals cell 1 times left parenthesis straight y times 7 minus left parenthesis negative 2 right parenthesis times 7 right parenthesis end cell row cell left parenthesis 1 plus 6 right parenthesis left parenthesis 0 plus straight x right parenthesis end cell equals cell 1 left parenthesis 7 straight y plus 14 right parenthesis end cell row cell left parenthesis 7 right parenthesis left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell 7 straight y plus 14 end cell row cell space 7 straight x end cell equals cell 7 straight y plus 14 space end cell row cell 7 straight x minus 7 straight y end cell equals 14 row cell 7 left parenthesis straight x minus straight y right parenthesis end cell equals 14 row cell space straight x minus straight y end cell equals cell 14 over 7 end cell row cell space straight x minus straight y end cell equals cell 2 space end cell row blank blank blank row blank blank blank row blank blank blank end table end style 

Jadi, nilai undefined adalah 2.

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

0

Roboguru

Tunjukkan kebenaran persamaan berikut tanpa menghitung determinannya. ∣∣​541​−33−2​116​∣∣​=∣∣​941​03−2​216​∣∣​

Pembahasan Soal:

Diketahui: begin mathsize 14px style open vertical bar table row 5 cell negative 3 end cell 1 row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar equals open vertical bar table row 9 0 2 row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar end style.

Ingat!

Sifat determinan:

"Nilai sebuah determinan tidak berubah, jika masing-masing elemen pada baris (atau kolom) dikali dengan bilangan real k dan ditambahkan pada sembarang baris (atau kolom)".

Dengan menguraikan elemen pada baris 1 ke dalam penjumlahan yang berkaitan dengan elemen pada baris 2, maka:

open vertical bar table row 5 cell negative 3 end cell 1 row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar equals open vertical bar table row 9 0 2 row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar open vertical bar table row 5 cell negative 3 end cell 1 row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar equals open vertical bar table row cell 5 plus left parenthesis 4 right parenthesis end cell cell negative 3 plus left parenthesis 3 right parenthesis end cell cell 1 plus 1 end cell row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar open vertical bar table row 5 cell negative 3 end cell 1 row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar equals open vertical bar table row 5 cell negative 3 end cell 1 row 4 3 1 row 1 cell negative 2 end cell 6 end table close vertical bar space left parenthesis terbukti right parenthesis

Jadi, dari uraian yang telah dipaparkan di atas, persamaan tersebut merupakan pernyataan yang benar.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved