Pertanyaan

Jika r  = 1 , tunjukan dengan induksi matematika bahwa: 1 + r + r 2 + ... + r n − 1 = r − 1 r n − 1 untuk semua bilangan asli n .

Jika $r \neq = 1$ , tunjukan dengan induksi matematika bahwa:

$1 + r + r^{2} + ... + r^{n - 1} = \frac{r ^{n} - 1}{r - 1}$

untuk semua bilangan asli $n$ .

Y. Fathoni

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta.

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa untuk semua bilangan asli .

terbukti bahwa $begin mathsize 14px style 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of n minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of n minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end style$ untuk semua bilangan asli

Pembahasan

Langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk pernyataan yang memenuhi dua kondisi berikut: adalah benar (dibuktikan). Jika dianggap benar untuk setiap bilangan asli , maka harus dibuktikan juga benar. Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan benar untuk setiap bilangan . Jika , Akan ditunjukan dengan induksi matematika bahwa: untuk semua bilangan asli . Dengan menggunakan langkah pembuktian tersebut diperoleh sebagai berikut. Misalkan . Langkah pertama: Diperoleh, pernyataan benar. Langkah kedua: Anggap benar, yaitu Akan dibuktikan bahwa , berarti , yaitu Perhatikan perhitungan berikut. Diperoleh, langkah pertamapernyataan benar, dan langkah kedua pernyataan benar. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk semua bilangan asli .

Langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk pernyataan P subscript n yang memenuhi dua kondisi berikut:

adalah benar (dibuktikan).
Jika dianggap benar untuk setiap bilangan asli , maka harus dibuktikan juga benar.

Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan P subscript n benar untuk setiap bilangan .

Jika , Akan ditunjukan dengan induksi matematika bahwa:

$begin mathsize 14px style 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of n minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of n minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end style$

untuk semua bilangan asli .

Dengan menggunakan langkah pembuktian tersebut diperoleh sebagai berikut.

Misalkan $P subscript n identical to 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of n minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of n minus 1 over denominator r minus 1 end fraction$ .

Langkah pertama:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript n end cell identical to cell 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of n minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of n minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end cell row cell P subscript 1 end cell identical to cell 1 equals fraction numerator r to the power of 1 minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end cell row cell P subscript 1 end cell identical to cell 1 equals fraction numerator r minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end cell row cell P subscript 1 end cell identical to cell 1 equals 1 space open parentheses benar close parentheses end cell end table$

Diperoleh, pernyataan P subscript 1 benar.

Langkah kedua:

Anggap P subscript k benar, yaitu

$P subscript k identical to 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of k minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of k minus 1 over denominator r minus 1 end fraction$

Akan dibuktikan bahwa P subscript k plus 1 end subscript , berarti n equals k plus 1 , yaitu

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript k end cell identical to cell 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of k minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of k minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end cell row cell P subscript k plus 1 end subscript end cell identical to cell 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end cell row cell P subscript k plus 1 end subscript end cell identical to cell 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of k equals fraction numerator r to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end cell end table$

Perhatikan perhitungan berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript k plus 1 end subscript end cell identical to cell 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of k end cell row blank identical to cell 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of k minus 1 end exponent plus r to the power of k end cell row blank identical to cell open parentheses 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of k minus 1 end exponent close parentheses plus r to the power of k end cell row blank identical to cell fraction numerator r to the power of k minus 1 over denominator r minus 1 end fraction plus r to the power of k end cell row blank identical to cell fraction numerator r to the power of k minus 1 over denominator r minus 1 end fraction plus fraction numerator r to the power of k open parentheses r minus 1 close parentheses over denominator r minus 1 end fraction end cell row blank identical to cell fraction numerator r to the power of k minus 1 plus r to the power of k times r minus r to the power of k over denominator r minus 1 end fraction equals fraction numerator r to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 1 over denominator r minus 1 end fraction space open parentheses benar close parentheses end cell end table$

Diperoleh, langkah pertama pernyataan P subscript 1 benar, dan langkah kedua pernyataan P subscript k plus 1 end subscript benar.

Dengan demikian, terbukti bahwa $begin mathsize 14px style 1 plus r plus r squared plus... plus r to the power of n minus 1 end exponent equals fraction numerator r to the power of n minus 1 over denominator r minus 1 end fraction end style$ untuk semua bilangan asli .