Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. 1 + 4 + 12 + ⋯ + 2 1 − n n = 2 n ( n − 1 ) + 1

Buktikan dengan induksi matematika.

$1 + 4 + 12 + \dots + \frac{n}{2 ^{1 - n}} = 2^{n} (n - 1) + 1$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa Langkah awal: Akan dibuktikan benar untuk Jadi, terbukti bahwa benar. Langkah induksi: Asumsikan benarsehingga diperoleh Akan ditunjukkan bahwa juga benar, sedemikian sehingga Bukti: Jadi, terbukti bahwa benar . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

1 plus 4 plus 12 plus horizontal ellipsis plus n over 2 to the power of 1 minus n end exponent equals 2 to the power of n open parentheses n minus 1 close parentheses plus 1

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 over 2 to the power of 1 minus 1 end exponent end cell equals cell 2 to the power of 1 open parentheses 1 minus 1 close parentheses plus 1 end cell row cell 1 over 2 to the power of 0 end cell equals cell 0 plus 1 end cell row 1 equals 1 end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga diperoleh

1 plus 4 plus 12 plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of 1 minus k end exponent equals 2 to the power of k open parentheses k minus 1 close parentheses plus 1

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga

$1 plus 4 plus 12 plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of 1 minus k end exponent plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of 1 minus open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end fraction equals 2 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent open parentheses k close parentheses plus 1$

Bukti:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 plus 4 plus 12 plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of 1 minus k end exponent plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of 1 minus open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end fraction end cell row blank equals cell open parentheses 2 to the power of k open parentheses k minus 1 close parentheses plus 1 close parentheses plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of negative k end exponent end fraction end cell row blank equals cell 2 to the power of k open parentheses k minus 1 close parentheses plus 1 plus 2 to the power of k open parentheses k plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell 2 to the power of k times k minus 2 to the power of k plus 1 plus 2 to the power of k times k plus 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of k times k plus 1 end cell row blank equals cell 2 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent open parentheses k close parentheses plus 1 end cell end table$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.