Jika f ( x ) = − x 3 + 3 x 2 − 9 x + 6 terdefinisi pada [ − 1 , ∞ ] , maka .... (1) f selalu turun (2) f tidak pernah naik (3) f cekung bawah pada ( 1 , ∞ ) (4) f cekung atas pada ( − ∞ , 1 )

Pembahasan

Untuk menjawab soal diatas, kita harus menentukan kebenaran dari masing - masing pernyataan. Akan ditentukan kebenaran p ernyataan (1) yaitu f selalu turun. Suatu fungsi f ( x ) yang kontinu di suatu interval, dikatakan turun apabila f ′ ( x ) < 0 Diketahui f ( x ) = − x 3 + 3 x 2 − 9 x + 6 terdefinisi pada [ − 1 , ∞ ] . artinya domain fungsi tersebut adalah − 1 ≤ x ≤ ∞ . f ′ ( x ) − 3 x 2 + 6 x − 9 x 2 − 2 x + 3 ​ < < > ​ 0 0 0 ​ Untuk semua nilai x pada domain, memenuhi pertidaksamaan x 2 − 2 x + 3 > 0 . Artinya, fungsi f selalu turun untuk semua domainnya. Maka pernyataan (1) benar. Akan ditentukan kebenaran pernyataan (2) yaitu f tidak pernah naik. Sebelumnya kita telah peroleh bahwauntuk semua domainnya fungsi f selalu turun, maka artinya fungsi f tidak pernah naik. Maka pernyataan (2) benar. Akan ditentukan kebenaran pernyataan (3) yaitu f cekung bawah pada ( 1 , ∞ ) . Suatu fungsi f ( x ) yang kontinu di suatu interval, dikatakan cekung ke bawah apabila f ′′ ( x ) < 0 . Diketahui f ′ ( x ) = − 3 x 2 + 6 x − 9 , maka f ′′ ( x ) − 6 x + 6 6 x − 6 6 x x ​ < < > > > ​ 0 0 0 6 1 ​ Jadi f ( x ) cekung ke bawah pada domain x > 1 yaitu pada interval ( 1 , ∞ ) . Maka p ernyataan (3) benar. Akan ditentukan kebenaran pernyataan (3) yaitu f cekung atas pada ( − ∞ , 1 ) . Suatu fungsi f ( x ) yang kontinu di suatu interval, dikatakan cekung ke atas apabila f ′′ ( x ) > 0 . Diketahui f ′ ( x ) = − 3 x 2 + 6 x − 9 , maka f ′′ ( x ) − 6 x + 6 6 x − 6 6 x x ​ > > < < < ​ 0 0 0 6 1 ​ Jadi f ( x ) cekung ke ataspada domain x < 1 yaitu pada interval ( − ∞ , 1 ) . Maka p ernyataan (4) benar. Dengan demikian, semua pernyataan benar. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.