Pertanyaan

Jika α merupakan penyelesaian dari persamaan sec x − tan x = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 cos 2 x maka nilai dari sin α adalah ….

Jika $α$ merupakan penyelesaian dari persamaan $sec x - tan x = sin^{4} x + 4 cos^{2} x + cos^{4} x + 4 cos^{2} x$ maka nilai dari $sin α$ adalah ….

$- \frac{4}{5}$
$- \frac{3}{5}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{4}{5}$
$1$

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

D. Entry

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Diketahui bahwa sec x − tan x = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 cos 2 x . Kemudian, akan ditentukan dahulu nilai dan kuadran berapa α berada, selanjutnya dicari nilai dari sin α . Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, terdapat beberapa langkah yang diperlukan sebagai berikut. Langkah pertama. Tentukan bentuk sederhana dari sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 cos 2 x . Ingat bahwa beberapa identitas trigonometri, aljabar, dan sifat nilai mutlak berikut. sin 2 x + cos 2 x = 1 Perhatikan perhitungan berikut! Kemudian, diketahui bahwa daerah hasil dari fungsi sinus dan cosinus adalah − 1 ≤ sin x ≤ 1 dan − 1 ≤ cos x ≤ 1 Oleh karena itu, diperoleh perhitungan berikut. − 1 0 − 2 ≤ ≤ ≤ sin x ≤ 1 sin 2 x ≤ 1 sin 2 x − 2 ≤ − 1 dan − 1 0 − 2 ≤ ≤ ≤ cos x ≤ 1 cos 2 x ≤ 1 cos 2 x − 2 ≤ − 1 Dengan kata lain, sin 2 x − 2 dan cos 2 x − 2 bernilai kurang dari nol atau bernilai negatif sehingga diperoleh persamaan berikut. dan Akibatnya, diperoleh perhitungan berikut. Langkah kedua. Tentukan kuadran dari α Dari informasi pada perhitungan sebelumnya, untuk x = α diperoleh persamaan berikut. Untuk mendapatkan nilai dari α , ingat bahwa tan 2 x + 1 = sec 2 x sehingga diperoleh sec 2 x − tan 2 x = 1 . Dengan demikian, substitusikan persamaan (i) sehingga diperoleh perhitungan berikut. Selanjutnya, jumlahkan persamaan (i) dan (ii) sehingga diperoleh perhitungan berikut. sec α − tan α = 3 sec α + tan α = 3 1 − − − − − − − − − − 2 sec α = 3 + 3 1 2 sec α = 3 10 sec α = 3 5 c o s α 1 = 3 5 cos α = 5 3 + Kemudian, kurangkan persamaan (ii) dengan (i) sehingga diperoleh perhitungan berikut. sec α + tan α = 3 1 sec α − tan α = 3 − − − − − − − − − − 2 tan α = 3 1 − 3 2 tan α = − 3 8 tan α = − 3 4 − Terlihat bahwa, cos α bernilai positif dan tan α bernilai negatif sehingga α berada pada kuadran IV. Langkah ketiga. Tentukan nilai dari sin α . Pada langkah sebelumnya, diketahui bahwa cos α = 5 3 . Kemudian, ingat bentuk aproksimasi dari sudut pada segitiga berikut dan . Ingat juga bahwa, sehingga diperoleh perhitungan sin α sebagai berikut. Dengan demikian, nilai dari sin α adalah − 5 4 . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Diketahui bahwa $sec x - tan x = sin^{4} x + 4 cos^{2} x + cos^{4} x + 4 cos^{2} x$ . Kemudian, akan ditentukan dahulu nilai dan kuadran berapa $α$ berada, selanjutnya dicari nilai dari $sin α$ .

Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, terdapat beberapa langkah yang diperlukan sebagai berikut.

Langkah pertama. Tentukan bentuk sederhana dari $sin^{4} x + 4 cos^{2} x + cos^{4} x + 4 cos^{2} x$ .

Ingat bahwa beberapa identitas trigonometri, aljabar, dan sifat nilai mutlak berikut.

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

Perhatikan perhitungan berikut!

Kemudian, diketahui bahwa daerah hasil dari fungsi sinus dan cosinus adalah $- 1 \leq sin x \leq 1$ dan $- 1 \leq cos x \leq 1$

Oleh karena itu, diperoleh perhitungan berikut.

$- 1 0 - 2 \leq \leq \leq sin x \leq 1 sin^{2} x \leq 1 sin^{2} x - 2 \leq - 1$

dan

$- 1 0 - 2 \leq \leq \leq cos x \leq 1 cos^{2} x \leq 1 cos^{2} x - 2 \leq - 1$

Dengan kata lain, $sin^{2} x - 2$ dan $cos^{2} x - 2$ bernilai kurang dari nol atau bernilai negatif sehingga diperoleh persamaan berikut.

dan

Akibatnya, diperoleh perhitungan berikut.

Langkah kedua. Tentukan kuadran dari $α$

Dari informasi pada perhitungan sebelumnya, untuk $x = α$ diperoleh persamaan berikut.

Error converting from MathML to accessible text.

Untuk mendapatkan nilai dari $α$ , ingat bahwa $tan^{2} x + 1 = sec^{2} x$ sehingga diperoleh $sec^{2} x - tan^{2} x = 1$ .

Dengan demikian, substitusikan persamaan (i) sehingga diperoleh perhitungan berikut.

Selanjutnya, jumlahkan persamaan (i) dan (ii) sehingga diperoleh perhitungan berikut.

$sec α - tan α = 3 sec α + tan α = \frac{1}{3} - - - - - - - - - - 2 sec α = 3 + \frac{1}{3} 2 sec α = \frac{10}{3} sec α = \frac{5}{3} \frac{1}{c o s α} = \frac{5}{3} cos α = \frac{3}{5} +$

Kemudian, kurangkan persamaan (ii) dengan (i) sehingga diperoleh perhitungan berikut.

$sec α + tan α = \frac{1}{3} sec α - tan α = 3 - - - - - - - - - - 2 tan α = \frac{1}{3} - 3 2 tan α = - \frac{8}{3} tan α = - \frac{4}{3} -$

Terlihat bahwa, $cos α$ bernilai positif dan $tan α$ bernilai negatif sehingga $α$ berada pada kuadran IV.

Langkah ketiga. Tentukan nilai dari $sin α$ .

Pada langkah sebelumnya, diketahui bahwa $cos α = \frac{3}{5}$ .

Kemudian, ingat bentuk aproksimasi dari sudut pada segitiga berikut dan cos invisible function application open parentheses 270 to the power of degree plus italic x close parentheses equals sin invisible function application italic x .

Error converting from MathML to accessible text.

Ingat juga bahwa, sin invisible function application open parentheses 270 to the power of degree plus italic x close parentheses equals minus sign cos invisible function application italic x sehingga diperoleh perhitungan $sin α$ sebagai berikut.

Dengan demikian, nilai dari $sin α$ adalah $- \frac{4}{5}$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Jika sin x + sin x 1 < − 1 dan 2 cos x + cos x 3 > 4 , maka x berada pada kuadran ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika sin x + sin x 1 < − 1 dan 2 cos x + cos x 3 > 4 , maka x berada pada kuadran ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan bentuk-bentuk trigonometri berikut! sin θ + cos θ cos θ − sin θ tan θ − cos θ sin θ ⋅ tan θ Jika 27 0 ∘ < θ < 36 0 ∘ ,maka bentuk trigonometri yang pasti b...

0.0

Jawaban terverifikasi

Nilai dari adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan bentuk-bentuk trigonometri berikut! sin θ + cos θ cos θ − sin θ tan θ − cos θ sin θ ⋅ tan θ Jika 27 0 ∘ < θ < 36 0 ∘ ,maka bentuk trigonometri yang pasti b...

0.0

Jawaban terverifikasi