Pertanyaan

Jika sec x − 1 tan x + sec x + 1 tan x < 0 dan 0 ∘ < x < 36 0 ∘ , tentukan nilai x yang memenuhi.

Jika $\frac{tan x}{sec x - 1} + \frac{tan x}{sec x + 1} < 0$ dan $0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}$ , tentukan nilai $x$ yang memenuhi.

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah .

diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah open curly brackets x vertical line 180 degree less than x less than 360 degree close curly brackets

open curly brackets x vertical line 180 degree less than x less than 360 degree close curly brackets

Pembahasan

Gunakan konsep penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dengan garis bilangan. Ingat kembali nilai trigonometri pada sudut istimewa dengan menggunakan tabel trigonometri, perbandingan danidentitas trigonometri sebagai berikut. Diketahui interval dan , akan ditentukan interval nilai yang memenuhi. Sederhanakan pertidaksamaan trigonometri menjadi seperti berikut. Berdasarkan tabel trigonometri diperoleh bahwa nilai bernilai positif pada interval dan bernilai negatif pada interval . Jika digambarkan pada garis bilangan tanda positif dan negatif dapat diperoleh sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah , maka daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah yang bertanda negatif, yaitu . Jadi, diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah .

Gunakan konsep penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dengan garis bilangan.

Ingat kembali nilai trigonometri pada sudut istimewa dengan menggunakan tabel trigonometri, perbandingan dan identitas trigonometri sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell sin squared space x plus cos squared space x end cell equals 1 row cell tan space x end cell equals cell fraction numerator sin space x over denominator cos space x end fraction end cell row cell csc space x end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator sin space x end fraction end cell row cell sec space x end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator cos space x end fraction end cell end table$

Diketahui interval 0 degree less than x less than 360 degree dan $fraction numerator tan space x over denominator sec space x minus 1 end fraction plus fraction numerator tan space x over denominator sec space x plus 1 end fraction less than 0$ , akan ditentukan interval nilai yang memenuhi.

Sederhanakan pertidaksamaan trigonometri menjadi seperti berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell fraction numerator tan space x over denominator sec space x minus 1 end fraction plus fraction numerator tan space x over denominator sec space x plus 1 end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator tan space x over denominator sec space x minus 1 end fraction plus fraction numerator tan space x over denominator sec space x plus 1 end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator begin display style fraction numerator sin space x over denominator cos space x end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 over denominator cos space x end fraction end style minus 1 end fraction plus fraction numerator begin display style fraction numerator sin space x over denominator cos space x end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 over denominator cos space x end fraction end style plus 1 end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator begin display style fraction numerator sin space x over denominator up diagonal strike cos space x end strike end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 minus cos space x over denominator up diagonal strike cos space x end strike end fraction end style end fraction plus fraction numerator begin display style fraction numerator sin space x over denominator up diagonal strike cos space x end strike end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 plus cos space x over denominator up diagonal strike cos space x end strike end fraction end style end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator sin space x over denominator 1 minus cos space x end fraction plus fraction numerator sin space x over denominator 1 plus cos space x end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator open parentheses sin space x close parentheses open parentheses 1 plus cos space x close parentheses plus open parentheses sin space x close parentheses open parentheses 1 minus cos space x close parentheses over denominator open parentheses 1 minus cos space x close parentheses times open parentheses 1 plus cos space x close parentheses end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator sin space x plus sin space x space cos space x plus sin space x minus sin space x space cos space x over denominator 1 minus cos squared space x end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator 2 space sin space x over denominator sin squared space x end fraction end cell less than 0 row cell fraction numerator 2 over denominator sin space x end fraction end cell less than 0 row cell 2 space csc space x end cell less than 0 row cell csc space x end cell less than 0 end table$

Berdasarkan tabel trigonometri diperoleh bahwa nilai csc space x bernilai positif pada interval 0 degree less than x less than 180 degree dan bernilai negatif pada interval 180 degree less than x less than 360 degree .

Jika digambarkan pada garis bilangan tanda positif dan negatif dapat diperoleh sebagai berikut.

Karena tanda pertidaksamaan adalah less than , maka daerah yang memenuhi pertidaksamaan $fraction numerator tan space x over denominator sec space x minus 1 end fraction plus fraction numerator tan space x over denominator sec space x plus 1 end fraction less than 0$ adalah yang bertanda negatif, yaitu 180 degree less than x less than 360 degree .

Jadi, diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah open curly brackets x vertical line 180 degree less than x less than 360 degree close curly brackets .