Pertanyaan

Jika sin ( x + 4 5 ∘ ) = a dan sin ( 2 x + 6 0 ∘ ) = b , maka cos ( 3 x + 10 5 ∘ ) cos ( x + 1 5 ∘ ) = ...

Jika $sin (x + 4 5^{\circ}) = a$ dan $sin (2 x + 6 0^{\circ}) = b$ , maka $cos (3 x + 10 5^{\circ}) cos (x + 1 5^{\circ}) = ...$

$1 - a^{2} + b^{2}$
$1 - a^{2} - b^{2}$
$a^{2} + b^{2} - 1$
$2 - a^{2} b^{2}$
$1 - a^{2} b^{2}$

Y. Dwi

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Ingat bahwa 2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A − B ) , sehingga cos A cos B = 2 1 ( cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ) . Dengan demikian, cos ( 3 x + 10 5 ∘ ) cos ( x + 1 5 ∘ ) dapat ditentukan dengan perhitungan berikut. cos ( 3 x + 10 5 ∘ ) cos ( x + 1 5 ∘ ) = 2 1 ( cos ( 3 x + 10 5 ∘ + x + 1 5 ∘ ) + cos ( 3 x + 10 5 ∘ − ( x + 1 5 ∘ ) ) ) = 2 1 ( cos ( 4 x + 12 0 ∘ ) + cos ( 2 x + 9 0 ∘ ) ) = 2 1 ( cos 2 ( 2 x + 6 0 ∘ ) + cos 2 ( x + 4 5 ∘ ) ) ( i ) Ingat bahwa cos 2 A = 1 − 2 sin 2 A , maka cos 2 ( 2 x + 6 0 ∘ ) = 1 − 2 sin 2 ( 2 x + 6 0 ∘ ) = 1 − 2 b 2 cos 2 ( x + 4 5 ∘ ) = 1 − 2 sin 2 ( x + 4 5 ∘ ) = 1 − 2 a 2 Dengan demikian persamaan (i) menjadi sebagai berikut. cos ( 3 x + 10 5 ∘ ) cos ( x + 1 5 ∘ ) = 2 1 ( cos 2 ( 2 x + 6 0 ∘ ) + cos 2 ( x + 4 5 ∘ ) ) = 2 1 ( 1 − 2 b 2 + 1 − 2 a 2 ) = 2 1 ( 2 − 2 a 2 − 2 b 2 ) = 1 − a 2 − b 2 Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Ingat bahwa $2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)$ , sehingga $cos A cos B = \frac{1}{2} (cos (A + B) + cos (A - B))$ .

Dengan demikian, $cos (3 x + 10 5^{\circ}) cos (x + 1 5^{\circ})$ dapat ditentukan dengan perhitungan berikut.

$cos (3 x + 10 5^{\circ}) cos (x + 1 5^{\circ}) = \frac{1}{2} (cos (3 x + 10 5^{\circ} + x + 1 5^{\circ}) + cos (3 x + 10 5^{\circ} - (x + 1 5^{\circ}))) = \frac{1}{2} (cos (4 x + 12 0^{\circ}) + cos (2 x + 9 0^{\circ})) = \frac{1}{2} (cos 2 (2 x + 6 0^{\circ}) + cos 2 (x + 4 5^{\circ})) (i)$

Ingat bahwa $cos 2 A = 1 - 2 sin^{2} A$ , maka

$cos 2 (2 x + 6 0^{\circ}) = 1 - 2 sin^{2} (2 x + 6 0^{\circ}) = 1 - 2 b^{2}$
$cos 2 (x + 4 5^{\circ}) = 1 - 2 sin^{2} (x + 4 5^{\circ}) = 1 - 2 a^{2}$

Dengan demikian persamaan (i) menjadi sebagai berikut.

$cos (3 x + 10 5^{\circ}) cos (x + 1 5^{\circ}) = \frac{1}{2} (cos 2 (2 x + 6 0^{\circ}) + cos 2 (x + 4 5^{\circ})) = \frac{1}{2} (1 - 2 b^{2} + 1 - 2 a^{2}) = \frac{1}{2} (2 - 2 a^{2} - 2 b^{2}) = 1 - a^{2} - b^{2}$