Iklan

Pertanyaan

Jika m = 1 + x + x 2 + ... dan n = 1 + y + y 2 + ... dengan ∣ x ∣ < 1 dan ∣ y ∣ < 1 , buktikan bahwa 1 + x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 + ... = m + n − 1 mn ​ .

Jika  dan  dengan  dan , buktikan bahwa 

.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

02

:

08

:

47

:

56

Klaim

Iklan

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Karena maka merupakan deret geometri tak hingga konvergen. Untuk membuktikan 1 + x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 + ... = m + n − 1 mn ​ akan dicari dulu hasil masing-masing ruas. merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa Dengan demikian, terbukti bahwa:

Karena begin mathsize 14px style open vertical bar x close vertical bar less than 1 space dan space open vertical bar y close vertical bar less than 1 end style maka begin mathsize 14px style m space dan space n end style merupakan deret geometri tak hingga konvergen.
 

begin mathsize 14px style m equals 1 plus x plus x squared plus... comma space dengan space a equals 1 space dan space r equals x m equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction m equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style
 

begin mathsize 14px style n equals 1 plus y plus y squared plus... comma space dengan space a equals 1 space dan space r equals y n equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction n equals fraction numerator a over denominator 1 minus y end fraction end style
 

Untuk membuktikan  akan dicari dulu hasil masing-masing ruas.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator m n over denominator m plus n minus 1 end fraction end cell equals cell fraction numerator open parentheses begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style close parentheses open parentheses begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus y end fraction end style close parentheses over denominator begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style plus begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus y end fraction end style minus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x minus y plus x y end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 minus x y over denominator 1 minus x minus y plus x y end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction... left parenthesis straight i right parenthesis end cell end table end style

1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan begin mathsize 14px style a equals 1 space dan space r equals x y end style
 

begin mathsize 14px style 1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction... left parenthesis ii right parenthesis end style
 

Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa 
 

begin mathsize 14px style 1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... equals fraction numerator m n over denominator m plus n minus 1 end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction end style 
 

Dengan demikian, terbukti bahwa:

undefined

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

70

Iklan

Pertanyaan serupa

Hasil dari 1 − 4 2 ​ + 16 3 ​ − 64 4 ​ + 256 5 ​ − … adalah ....

2

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

[email protected]

Contact 02130930000

02130930000

Ikuti Kami

©2025 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia