Jika dan dengan dan , buktikan bahwa .

Pertanyaan

Jika $begin mathsize 14px style m equals 1 plus x plus x squared plus... end style$ dan $begin mathsize 14px style n equals 1 plus y plus y squared plus... end style$ dengan $begin mathsize 14px style open vertical bar x close vertical bar less than 1 end style$ dan $begin mathsize 14px style open vertical bar y close vertical bar less than 1 end style$ , buktikan bahwa

$begin mathsize 14px style 1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... equals begin inline style fraction numerator m n over denominator m plus n minus 1 end fraction end style end style$ .

Pembahasan Soal:

Karena $begin mathsize 14px style open vertical bar x close vertical bar less than 1 space dan space open vertical bar y close vertical bar less than 1 end style$ maka $begin mathsize 14px style m space dan space n end style$ merupakan deret geometri tak hingga konvergen.

$begin mathsize 14px style m equals 1 plus x plus x squared plus... comma space dengan space a equals 1 space dan space r equals x m equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction m equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style$

$begin mathsize 14px style n equals 1 plus y plus y squared plus... comma space dengan space a equals 1 space dan space r equals y n equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction n equals fraction numerator a over denominator 1 minus y end fraction end style$

Untuk membuktikan $1 + x y + x^{2} y^{2} + x^{3} y^{3} + ... = \frac{mn}{m + n - 1}$ akan dicari dulu hasil masing-masing ruas.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator m n over denominator m plus n minus 1 end fraction end cell equals cell fraction numerator open parentheses begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style close parentheses open parentheses begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus y end fraction end style close parentheses over denominator begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style plus begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus y end fraction end style minus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x minus y plus x y end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 minus x y over denominator 1 minus x minus y plus x y end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction... left parenthesis straight i right parenthesis end cell end table end style$

$1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus...$ merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan $begin mathsize 14px style a equals 1 space dan space r equals x y end style$

$begin mathsize 14px style 1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction... left parenthesis ii right parenthesis end style$

Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa

$begin mathsize 14px style 1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... equals fraction numerator m n over denominator m plus n minus 1 end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction end style$

Dengan demikian, terbukti bahwa:

$undefined$

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

P. Tessalonika

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Terakhir diupdate 30 Agustus 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri berikut ini. Tentukan apakah deret ini konvergen, jika ya tentukan jumlah deret tak hingga itu.

Pembahasan Soal:

Berdasarkan deret tersebut diketahui bahwa suku pertama adalah $begin mathsize 14px style a equals 3 end style$ dan rasionya adalah $begin mathsize 14px style r equals negative 3 end style$ .

Syarat deret geometri tak hingga konvergen yaitu rasionya $undefined$ . Karena pada deret tersebut $undefined$ , maka deret tersebut bukan deret konvergen. Deret tersebut merupakan deret geometri tak hingga divergen.

Dengan demikian deret tersebut bukan deret konvergen.

Roboguru

Diketahui jumlah suatu deret geometri tak hingga yang konvergen adalah . Batas-batas nilai x yang memenuhi adalah ....

Pembahasan Soal:

Diketahui: jumlah suatu deret geometri tak hingga yang konvergen adalah $begin mathsize 14px style fraction numerator 3 minus x over denominator 1 minus log subscript 4 open parentheses x close parentheses end fraction end style$ .

Ditanya: Batas-batas nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Perlu diingat deret geometri tak hingga konvergen dirumuskan:

$S subscript infinity equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction$

Deret Geometri tak hingga didapat:

$S subscript infinity equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction equals fraction numerator 3 minus x over denominator 1 minus log presuperscript 4 space x end fraction a equals space 3 minus x r equals log presuperscript 4 space x$

Syarat konvergen $undefined$ , maka batas nilai $x$ yang memenuhi yaitu:

$begin mathsize 14px style open vertical bar log presuperscript 4 space x close vertical bar less than 1 minus 1 less than log presuperscript 4 space x less than 1 1 fourth less than x less than 4 end style$

Sehingga, batas-batas nilai $x$ yang memenuhi adalah $begin mathsize 14px style 1 fourth less than x less than 4 end style$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Roboguru

Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri berikut ini. Tentukan apakah deret ini konvergen, jika ya tentukan jumlah deret tak hingga itu.

Pembahasan Soal:

Diberikan deret geometri $begin mathsize 14px style negative 1 plus 1 minus 1 plus. space. space. space. end style$

Suku pertama dari deret tersebut adalah $begin mathsize 14px style a equals negative 1 end style$ . Rasio adalah perbandingan sebuah suku dengan suku sebelumnya. Rasio deret tersebut yaitu

$r equals U subscript 2 over U subscript 1 equals fraction numerator 1 over denominator negative 1 end fraction equals negative 1$

Syarat deret geometri tak hingga konvergen yaitu rasionya berada pada interval $undefined$ . Karena rasio deret di atas adalah $undefined$ , maka deret bukan deret konvergen.

Deret tersebut merupakan deret geometri tak hingga divergen sehingga tidak dapat diketahui jumlahan pastinya atau jumlahnya tak hingga.

Roboguru

Hasil jumlah dari adalah ...

Pembahasan Soal:

$begin mathsize 14px style u subscript 1 equals a equals 4 r equals u subscript 2 over u subscript 1 equals 2 over 4 equals 1 half s subscript infinity equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction space space space space space equals fraction numerator 4 over denominator 1 minus 1 half end fraction space space space space space equals fraction numerator 4 over denominator 1 half end fraction space space space space space equals 8 end style$

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Hitunglah jumlah tak hingga dari deret geometri berikut! a.

Pembahasan Soal:

Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas (tak hingga).

Diketahui deret geometri $begin mathsize 14px style 250 plus 50 plus 10 plus 5 plus... end style$

Diasumsikan barisan geometri di atas menjadi $begin mathsize 14px style 250 plus 50 plus 10 plus 2 plus... end style$ agar rasio setiap sukunya sama yaitu:

$begin mathsize 14px style r equals 50 over 250 equals 10 over 50 equals 1 fifth end style$

Deret tersebut merupakan deret geometri tak hingga konvergen karena $begin mathsize 14px style negative 1 less than r less than 1 end style$ .

Sehingga deret geometri tak hingga tersebut adalah:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell S subscript infinity end cell equals cell fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 250 over denominator 1 minus begin display style 1 fifth end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 250 over denominator begin display style 4 over 5 end style end fraction end cell row blank equals cell 250 cross times 5 over 4 end cell row blank equals cell 312 comma 5 end cell end table end style$

Jadi, jumlah tak hingga dari deret geometri $begin mathsize 14px style 250 plus 50 plus 10 plus 2 plus... end style$ adalah $begin mathsize 14px style 312 comma 5 end style$ .

Roboguru