Pertanyaan

Jika m = 1 + x + x 2 + ... dan n = 1 + y + y 2 + ... dengan ∣ x ∣ < 1 dan ∣ y ∣ < 1 , buktikan bahwa 1 + x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 + ... = m + n − 1 mn .

Jika $m = 1 + x + x^{2} + ...$ dan $n = 1 + y + y^{2} + ...$ dengan $∣ x ∣ < 1$ dan $∣ y ∣ < 1$ , buktikan bahwa

$1 + x y + x^{2} y^{2} + x^{3} y^{3} + ... = \frac{mn}{m + n - 1}$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Karena maka merupakan deret geometri tak hingga konvergen. Untuk membuktikan 1 + x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 + ... = m + n − 1 mn akan dicari dulu hasil masing-masing ruas. merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa Dengan demikian, terbukti bahwa:

Karena maka merupakan deret geometri tak hingga konvergen.

$begin mathsize 14px style m equals 1 plus x plus x squared plus... comma space dengan space a equals 1 space dan space r equals x m equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction m equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style$

$begin mathsize 14px style n equals 1 plus y plus y squared plus... comma space dengan space a equals 1 space dan space r equals y n equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction n equals fraction numerator a over denominator 1 minus y end fraction end style$

Untuk membuktikan $1 + x y + x^{2} y^{2} + x^{3} y^{3} + ... = \frac{mn}{m + n - 1}$ akan dicari dulu hasil masing-masing ruas.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator m n over denominator m plus n minus 1 end fraction end cell equals cell fraction numerator open parentheses begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style close parentheses open parentheses begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus y end fraction end style close parentheses over denominator begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style plus begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus y end fraction end style minus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x minus y plus x y end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 minus x y over denominator 1 minus x minus y plus x y end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction... left parenthesis straight i right parenthesis end cell end table end style$

merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan

$begin mathsize 14px style 1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction... left parenthesis ii right parenthesis end style$

Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa

$begin mathsize 14px style 1 plus x y plus x squared y squared plus x cubed y cubed plus... equals fraction numerator m n over denominator m plus n minus 1 end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus x y end fraction end style$

Dengan demikian, terbukti bahwa:

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Hasil dari 1 − 4 2 + 16 3 − 64 4 + 256 5 − … adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama 84 dan rasio 7 4 . Jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Jumlah deret tak hinga 4 + 2 + 1 + 2 1 + .... adalah ......

0.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah bola dijatuhkan vertikal dari ketinggian 12 m ,terjadi pantulan 9 m , 6 4 3 m , dan seterusnya. Tentukan jarak lintasan yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti.

0.0

Jawaban terverifikasi

Hasil dari deret tak hingga 1 − 2 1 + 4 2 − 8 3 + 16 4 − 32 5 + … adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi