Pertanyaan

Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip dengan tan α = 24 7 dan cotan α = 12 5 , hitunglah: a. sin ( 2 1 α + β )

Jika $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip dengan $tan α = \frac{7}{24}$ dan $cotan α = \frac{5}{12}$ , hitunglah:

a. $sin (\frac{1}{2} α + β)$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

N. Nisa

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari adalah 130 89 2

nilai dari adalah

\frac{89}{130} 2

Pembahasan

Ingat kembali rumus: sin 2 A = ± 2 1 − cos A cos 2 A = ± 2 1 + cos A sin A cos A tan A cotan A = = = = miring depan miring samping samping depan depan samping sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu co tan α = 12 5 seharusnya co tan β = 12 5 . Pertama untuk sudut α : tan α = 24 7 samping depan = 24 7 ⇒ depan = 7 ⇒ samping = 24 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = depan 2 + samping 2 7 2 + 2 4 2 625 25 Sehingga diperoleh: sin α cos α = = = = miring depan 25 7 miring samping 25 24 Untuk sudut β : cotan β depan samping = = 12 5 12 5 ⇒ samping = 5 ⇒ depan = 12 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = samping 2 + depan 2 5 2 + 1 2 2 169 13 Sehingga diperoleh: sin β cos β = = = = miring depan 13 12 miring samping 13 5 karena diketahui bahwa sudut α dan β adalah sudut-sudut lancip maka sudut 2 α juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga: sin ( 2 1 α + β ) = = = = = = = = = = sin 2 1 α cos β + cos 2 1 α sin β 2 1 − c o s α cos β + 2 1 + c o s α sin β 2 1 − 25 24 ⋅ 13 5 + 2 1 + 25 24 ⋅ 13 12 2 25 1 ⋅ 13 5 + 2 25 49 ⋅ 13 12 50 1 ⋅ 13 5 + 50 49 ⋅ 13 12 5 1 ⋅ 13 5 2 1 + 5 7 ⋅ 13 12 2 1 65 5 2 1 + 65 84 2 1 65 89 2 1 65 89 ⋅ 2 1 2 130 89 2 Jadi, nilai dari adalah 130 89 2

Ingat kembali rumus:

$sin \frac{A}{2} = \pm \frac{1 - cos A}{2} cos \frac{A}{2} = \pm \frac{1 + cos A}{2}$

$sin A cos A tan A cotan A = = = = \frac{depan}{miring} \frac{samping}{miring} \frac{depan}{samping} \frac{samping}{depan}$

$sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$

Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu $co tan α = \frac{5}{12}$ seharusnya $co tan β = \frac{5}{12}$ .

Pertama untuk sudut $α$ :

$tan α = \frac{7}{24} \frac{depan}{samping} = \frac{7}{24} \Rightarrow depan = 7 \Rightarrow samping = 24$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = depan^{2} + samping^{2} 7^{2} + 2 4^{2} 62525$

Sehingga diperoleh:

$sin α cos α = = = = \frac{depan}{miring} \frac{7}{25} \frac{samping}{miring} \frac{24}{25}$

Untuk sudut $β$ :

$cotan β \frac{samping}{depan} = = \frac{5}{12} \frac{5}{12} \Rightarrow samping = 5 \Rightarrow depan = 12$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = samping^{2} + depan^{2} 5^{2} + 1 2^{2} 16913$

Sehingga diperoleh:

$sin β cos β = = = = \frac{depan}{miring} \frac{12}{13} \frac{samping}{miring} \frac{5}{13}$

karena diketahui bahwa sudut $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip maka sudut $\frac{α}{2}$ juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga:

$sin (\frac{1}{2} α + β) = = = = = = = = = = sin \frac{1}{2} α cos β + cos \frac{1}{2} α sin β \frac{1 - c o s α}{2} cos β + \frac{1 + c o s α}{2} sin β \frac{1 - \frac{24}{25}}{2} \cdot \frac{5}{13} + \frac{1 + \frac{24}{25}}{2} \cdot \frac{12}{13} \frac{\frac{1}{25}}{2} \cdot \frac{5}{13} + \frac{\frac{49}{25}}{2} \cdot \frac{12}{13} \frac{1}{50} \cdot \frac{5}{13} + \frac{49}{50} \cdot \frac{12}{13} \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{13} \frac{1}{2} + \frac{7}{5} \cdot \frac{12}{13} \frac{1}{2} \frac{5}{65} \frac{1}{2} + \frac{84}{65} \frac{1}{2} \frac{89}{65} \frac{1}{2} \frac{89}{65} \cdot \frac{1}{2} 2 \frac{89}{130} 2$