Jarak terjauh titik P ( 5 , 1 ) terhadap lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 adalah ....

Question

Roboguru Admin · Accepted Answer

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah C.

Ingatlah bahwa bentuk umum persamaan lingkaran dinyatakan sebagai:

L = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 + 2 A x + 2 B y + C = 0 }

dengan titik pusat ( − A , − B ) dan jari-jari r = A 2 + B 2 − C ​

Diketahui bahwa persamaan lingkaran

x 2 + y 2 + 2 A x + 2 B y + C ​ = ⇔ ​ 0 x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 ​

diperoleh

2 A A ​ = = ​ − 4 − 2 , ​

2 B B ​ = = ​ 6 3 , ​

dan C = 4

Titik pusat: ( − A , − B ) ​ = = ​ ( − ( − 2 ) , − 3 ) ( 2 , − 3 ) ​

Jari-jari:

r r r r r ​ = = = = = ​ A 2 + B 2 − C ​ ( − 2 ) 2 + 3 2 − 4 ​ 4 + 9 − 4 ​ 9 ​ 3 ​

Jarak terjauh PC adalah penjumlahan dari jarak titik P terhadap pusat lingkaran dan panjang jari-jari seperti gambar berikut.

​ ​ PC=PB+BC PC=PB + r ​

Ingat kembali rumus untuk menentukan jarak dua titik adalah

( x 1 ​ − x 2 ​ ) 2 + ( y 1 ​ − y 2 ​ ) 2 ​

Kita menentukan panjang PA terlebih dahulu yaitu jarak antara titik P ( 5 , 1 ) dan A ( 5 , − 3 ) sehingga

PA PA PA PA PA ​ = = = = = ​ ( x 1 ​ − x 2 ​ ) 2 + ( y 1 ​ − y 2 ​ ) 2 ​ ( 5 − 5 ) 2 + ( 1 − ( − 3 ) 2 ​ 0 2 + 4 2 ​ 16 ​ 4 ​

Selanjutnya, untuk menentukan panjang PB , gunakan teorema Pythagoras dengan dan AB = r = 3 diperoleh

PB 2 PB 2 PB 2 PB ​ = = = = ​ PA 2 + AB 2 4 2 + 3 2 16 + 9 25 ​ = 5 ​

Dengan demikian, jarak terjauh titik P ( 5 , 1 ) terhadap lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 adalah

​ ​ PC=PB+BC PC=PB + r PC=5+3 PC=8 ​

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Jawaban