Pertanyaan

Garis h melalui titik P ( 2 , 7 ) menyinggunglingkaran x 2 + y 2 + 4 y − 6 = 0 di Q . Tentukanpersamaan lingkaran L yang pusatnya di P dan melalui Q .

Garis $h$ melalui titik $P (2, 7)$ menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 4 y - 6 = 0$ di $Q$ . Tentukan persamaan lingkaran $L$ yang pusatnya di $P$ dan melalui $Q$ .

Z. Apriani

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Institut Teknologi Bandung

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran L tersebut adalah x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 22 = 0 .

persamaan lingkaran

L

tersebut adalah

x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 22 = 0

Pembahasan

Ingat titik pusat lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berikut: P ( a , b ) = P ( − 2 A , − 2 B ) Dan jari-jari lingkaran berikut: r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C Ingat rumus jarak titik ( x 1 , y 1 ) di luar lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 ke titik singgung pada lingkaran adalah akar dari kuasa titik terhadap lingkaranberikut: s = ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 − r 2 Persamaan lingkaran dengan titik pusat P ( a , b ) dan berjari-jari r berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahui: Garis h melalui titik P ( 2 , 7 ) . lingkaran x 2 + y 2 + 4 y − 6 = 0 . Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka titik pusat lingkaran tersebut adalah sebagai berikut: P ( a , b ) = = = P ( − 2 A , − 2 B ) P ( − 2 0 , − 2 4 ) P ( 0 , − 2 ) Dan jari-jari lingkaran tersebut adalah sebagai berikut: r = = = 4 1 0 2 + 4 1 4 2 + 6 0 + 4 + 6 10 Sehingga jarak titik P ( 2 , 7 ) ke titik Q pada lingkaran adalah sebagai berikut: s = = = = = = ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 − r 2 ( 2 − 0 ) 2 + ( 7 + 2 ) 2 − ( 10 ) 2 2 2 + 9 2 − 10 4 + 81 − 10 75 5 3 Maka untuk menentukan lingkaran yang bertitik pusat di P ( 2 , 7 ) dan melalui titik Q adalah sebagai berikut: ( x − 2 ) 2 + ( y − 7 ) 2 x 2 − 4 x + 4 + y 2 − 14 y + 49 x 2 + y 2 − 4 x − 14 y + 53 − 75 x 2 + y 2 − 4 x − 14 y − 22 = = = = ( 5 3 ) 2 75 0 0 Dengan demikian, persamaan lingkaran L tersebut adalah x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 22 = 0 .

Ingat titik pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berikut:

$P (a, b) = P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$

Dan jari-jari lingkaran berikut:

$r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$

Ingat rumus jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ ke titik singgung pada lingkaran adalah akar dari kuasa titik terhadap lingkaran berikut:

$s = (x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} - r^{2}$

Persamaan lingkaran dengan titik pusat $P (a, b)$ dan berjari-jari $r$ berikut:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diketahui:

Garis $h$ melalui titik $P (2, 7)$ .
lingkaran $x^{2} + y^{2} + 4 y - 6 = 0$ .

Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka titik pusat lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:

$P (a, b) = = = P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) P (- \frac{0}{2}, - \frac{4}{2}) P (0, - 2)$

Dan jari-jari lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:

$r = = = \frac{1}{4} 0^{2} + \frac{1}{4} 4^{2} + 6 0 + 4 + 6 10$

Sehingga jarak titik $P (2, 7)$ ke titik $Q$ pada lingkaran adalah sebagai berikut:

$s = = = = = = (x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} - r^{2} (2 - 0)^{2} + (7 + 2)^{2} - (10)^{2} 2^{2} + 9^{2} - 10 4 + 81 - 10 7553$

Maka untuk menentukan lingkaran yang bertitik pusat di $P (2, 7)$ dan melalui titik $Q$ adalah sebagai berikut:

$(x - 2)^{2} + (y - 7)^{2} x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 14 y + 49 x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 53 - 75 x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y - 22 = = = = (53)^{2} 7500$

Dengan demikian, persamaan lingkaran $L$ tersebut adalah $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 22 = 0$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Jarak terjauh titik P ( 5 , 1 ) terhadap lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 adalah ....

4.3

Jawaban terverifikasi

Garis yang melalui P ( 1 , 2 ) menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 14 x + 12 y + 49 = 0 di titik M . Jarak PM sama dengan ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Garis yang melalui P ( 1 , 2 ) menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 14 x + 12 y + 49 = 0 di titik M . Jarak PM sama dengan ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Jarak terjauh titik P ( 5 , 1 ) terhadap lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 adalah ....

4.3

Jawaban terverifikasi

Tentukan posisi dari titik-titik berikut, apakah terletak pada , di luar, atau di dalam lingkaran yang berpusat di ( 5 , − 4 ) dan berjari-jari 3 2 (tanpa menggambar). f. ( 0 , 5 )

1.0

Jawaban terverifikasi