Pertanyaan

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan kurva y = − x 2 + 4 x ;sumbu-Xdan sumbu-Y!

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^{2}$ dan kurva $y = - x^{2} + 4 x$ ; sumbu-X dan sumbu-Y!

D. Kusumawardhani

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

luas daerah yang diarsir adalah .

luas daerah yang diarsir adalah

Pembahasan

Perhatikan perhitungan berikut ini Untuk membuat grafik persamaan garis dan maka cari terlebih dahulu perpotongan dengan sumbu-X dan sumbu-Y perpotongan kedua persamaan tersebut. Persamaan berpotongan dengan sumbu-X, maka : Maka atau . Didapatkan dan . Persamaan berpotongan dengan sumbu-Y, maka : Didapatkan . Persamaan berpotongan dengan sumbu-Y, maka maka didapatkan , dan sebaliknya. Jika nilai , maka nilai didapatkan , jika maka nilai didapatkan dan seterusnya, maka akan membentuk grafik melengkung terbuka ke atas. Perpotongan kedua persamaan tersebut, yaitu: Maka atau , masukan ke persamaan didapatkan sehingga . Grafik kedua persamaan tersebut yaitu: Untuk mencari luas yang dibatasi sumbu-X dan sumbu-Y, maka luas daerah yang didapatkan: Untuk mencari luas daerah yang diarsir maka dapat menggunakan konsep integral dengan batas sampai , sehingga: Luas = = = = = = = = = = = ∫ a b f ( x ) − g ( x ) ∫ 0 2 − x 2 + 4 x − ( x 2 ) ∫ 0 2 − x 2 + 4 x − x 2 ∫ 0 2 − 2 x 2 + 4 x [ − 3 2 x 3 + 2 4 x 2 ] 0 2 [ − 3 2 x 3 + 2 x 2 ] 0 2 [ − 3 2 ( 2 ) 3 + 2 ( 2 ) 2 − ( − 3 2 ( 0 ) 3 + 2 ( 0 ) 2 ) ] − 3 16 + 8 − 0 3 − 16 + 24 3 8 2 , 67 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah .

Perhatikan perhitungan berikut ini

Untuk membuat grafik persamaan garis dan maka cari terlebih dahulu perpotongan dengan sumbu-X dan sumbu-Y perpotongan kedua persamaan tersebut.

Persamaan berpotongan dengan sumbu-X, maka :

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell negative x squared plus 4 x end cell row 0 equals cell negative x squared plus 4 x end cell row cell x squared minus 4 x end cell equals 0 row cell x open parentheses x minus 4 close parentheses end cell equals 0 end table end style

Maka atau . Didapatkan dan .

Persamaan berpotongan dengan sumbu-Y, maka :

begin mathsize 14px style y equals negative x squared plus 4 x y equals negative open parentheses 0 close parentheses squared plus 4 open parentheses 0 close parentheses y equals 0 end style

Didapatkan .

Persamaan berpotongan dengan sumbu-Y, maka maka didapatkan , dan sebaliknya. Jika nilai , maka nilai didapatkan , jika maka nilai didapatkan dan seterusnya, maka akan membentuk grafik melengkung terbuka ke atas.

Perpotongan kedua persamaan tersebut, yaitu:

Maka atau , masukan ke persamaan didapatkan sehingga .

Grafik kedua persamaan tersebut yaitu:

Untuk mencari luas yang dibatasi sumbu-X dan sumbu-Y, maka luas daerah yang didapatkan:

Untuk mencari luas daerah yang diarsir maka dapat menggunakan konsep integral dengan batas sampai , sehingga:

$Luas = = = = = = = = = = = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) \int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x - (x^{2}) \int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x - x^{2} \int_{0}^{2} - 2 x^{2} + 4 x [- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2}]_{0}^{2} [- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2}]_{0}^{2} [- \frac{2}{3} (2)^{3} + 2 (2)^{2} - (- \frac{2}{3} (0)^{3} + 2 (0)^{2})] - \frac{16}{3} + 8 - 0 \frac{- 16 + 24}{3} \frac{8}{3} 2, 67$