Pertanyaan

Diketahui persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar positif x 1 dan x 2 . Jika x 1 , 6 , x 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri dan x 1 , x 2 , 14 tiga suku pertama barisan aritmatika, maka p + q = .... (UM UGM 2014)

Diketahui persamaan $x^{2} + p x + q = 0$ mempunyai akar-akar positif $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Jika $x_{1}, 6, x_{2}$ adalah tiga suku pertama barisan geometri dan $x_{1}, x_{2}, 14$ tiga suku pertama barisan aritmatika, maka $p + q = ....$ (UM UGM 2014)

$23$
$24$
$25$
$26$
$27$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

T. Prita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A.

Pembahasan

Misalkan suatu persamaan kuadrat: a x 2 + b x + c = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2 , maka: Jumlah akar-akar: x 1 + x 2 = − a b Hasil kali akar-akar: x 1 ⋅ x 2 = a c Diketahui: Persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar positif x 1 dan x 2 . Jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut: x 1 + x 2 x 1 ⋅ x 2 = = − a b = − 1 p = − p a c = 1 q = q Jika x 1 , 6 , x 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka rasionya: r 6 ⋅ 6 36 x 1 x 2 = = = = x 1 6 = 6 x 2 x 1 ⋅ x 2 x 1 x 2 36 ... ( 1 ) Jika x 1 , x 2 , 14 adalah tiga suku pertama barisan aritmatika, maka bedanya: b x 2 − x 1 x 2 + x 2 2 x 2 x 1 = = = = = U n − U n − 1 14 − x 2 14 + x 1 14 + x 1 2 x 2 − 14 ... ( 2 ) Substitusikan persamaan ( 2 ) ke persamaan ( 1 ) x 1 ⋅ x 2 ( 2 x 2 − 14 ) x 2 2 x 2 2 − 14 x 2 2 x 2 2 − 14 x 2 − 36 x 2 2 − 7 x 2 − 18 ( x 2 − 9 ) ( x 2 + 2 ) x 2 − 9 x 2 = = = = = = = = 36 36 36 0 0 0 0 atau x 2 + 2 = 0 9 atau x 2 = − 2 Karena akar-akarnya bernilai positif maka yang memenuhi adalah x 2 = 9 . Sehingga nilai x 1 dapat dicari dengan mensubstitusikan ke persamaan ( 2 ) berikut. x 1 = = = = 2 x 2 − 14 2 ( 9 ) − 14 18 − 14 4 Selanjutnya cari nilai dan q . Untuk nilai : x 1 + x 2 4 + 9 13 p = = = = − p − p − p − 13 Untuk nilai q : x 1 ⋅ x 2 36 q = = = q q 36 Sehingga nilai p + q = − 13 + 36 = 23 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Misalkan suatu persamaan kuadrat: $a x^{2} + b x + c = 0$ mempunyai akar-akar $x_{1} dan x_{2}$ , maka:
Jumlah akar-akar: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

Hasil kali akar-akar: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Diketahui:

Persamaan $x^{2} + p x + q = 0$ mempunyai akar-akar positif $x_{1}$ dan $x_{2}$ .

Jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut:

$x_{1} + x_{2} x_{1} \cdot x_{2} = = - \frac{b}{a} = - \frac{p}{1} = - p \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q$

Jika $x_{1}, 6, x_{2}$ adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka rasionya:

$r 6 \cdot 6 36 x_{1} x_{2} = = = = \frac{6}{x _{1}} = \frac{x _{2}}{6} x_{1} \cdot x_{2} x_{1} x_{2} 36 ... (1)$

Jika $x_{1}, x_{2}, 14$ adalah tiga suku pertama barisan aritmatika, maka bedanya:

$b x_{2} - x_{1} x_{2} + x_{2} 2 x_{2} x_{1} = = = = = U_{n} - U_{n - 1} 14 - x_{2} 14 + x_{1} 14 + x_{1} 2 x_{2} - 14 ... (2)$

Substitusikan persamaan $(2)$ ke persamaan $(1)$

$x_{1} \cdot x_{2} (2 x_{2} - 14) x_{2} 2 x_{2}^{2} - 14 x_{2} 2 x_{2}^{2} - 14 x_{2} - 36 x_{2}^{2} - 7 x_{2} - 18 (x_{2} - 9) (x_{2} + 2) x_{2} - 9 x_{2} = = = = = = = = 363636000 0 atau x_{2} + 2 = 0 9 atau x_{2} = - 2$

Karena akar-akarnya bernilai positif maka yang memenuhi adalah $x_{2} = 9$ . Sehingga nilai $x_{1}$ dapat dicari dengan mensubstitusikan ke persamaan $(2)$ berikut.

$x_{1} = = = = 2 x_{2} - 14 2 (9) - 14 18 - 14 4$

Selanjutnya cari nilai $p$ dan $q$ .

Untuk nilai $p$ :

$x_{1} + x_{2} 4 + 9 13 p = = = = - p - p - p - 13$

Untuk nilai $q$ :

$x_{1} \cdot x_{2} 36 q = = = q q 36$

Sehingga nilai $p + q = - 13 + 36 = 23$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ( x 2 − 7 x + a ) ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ( x 2 − 7 x + a ) ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika x 1 , x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 − ( 3 k + 5 ) x + 2 k + 3 = 0 dan x 1 , k , x 2 merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio r  = 1 , dan r  = ...

5.0

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui , b , dan adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan b > 0 . Jika a + b + c = b 2 − 10 maka nilai b adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS