Pertanyaan

Diketahui persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar positif x 1 dan x 2 . Jika x 1 , 6 , x 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri dan x 1 , x 2 , 14 tiga suku pertama barisan aritmatika, maka p + q = .... (UM UGM 2014)

Diketahui persamaan $x^{2} + p x + q = 0$ mempunyai akar-akar positif $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Jika $x_{1}, 6, x_{2}$ adalah tiga suku pertama barisan geometri dan $x_{1}, x_{2}, 14$ tiga suku pertama barisan aritmatika, maka $p + q = ....$ (UM UGM 2014)

$23$
$24$
$25$
$26$
$27$

T. Prita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A.

Pembahasan

Misalkan suatu persamaan kuadrat: a x 2 + b x + c = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2 , maka: Jumlah akar-akar: x 1 + x 2 = − a b Hasil kali akar-akar: x 1 ⋅ x 2 = a c Diketahui: Persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar positif x 1 dan x 2 . Jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut: x 1 + x 2 x 1 ⋅ x 2 = = − a b = − 1 p = − p a c = 1 q = q Jika x 1 , 6 , x 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka rasionya: r 6 ⋅ 6 36 x 1 x 2 = = = = x 1 6 = 6 x 2 x 1 ⋅ x 2 x 1 x 2 36 ... ( 1 ) Jika x 1 , x 2 , 14 adalah tiga suku pertama barisan aritmatika, maka bedanya: b x 2 − x 1 x 2 + x 2 2 x 2 x 1 = = = = = U n − U n − 1 14 − x 2 14 + x 1 14 + x 1 2 x 2 − 14 ... ( 2 ) Substitusikan persamaan ( 2 ) ke persamaan ( 1 ) x 1 ⋅ x 2 ( 2 x 2 − 14 ) x 2 2 x 2 2 − 14 x 2 2 x 2 2 − 14 x 2 − 36 x 2 2 − 7 x 2 − 18 ( x 2 − 9 ) ( x 2 + 2 ) x 2 − 9 x 2 = = = = = = = = 36 36 36 0 0 0 0 atau x 2 + 2 = 0 9 atau x 2 = − 2 Karena akar-akarnya bernilai positif maka yang memenuhi adalah x 2 = 9 . Sehingga nilai x 1 dapat dicari dengan mensubstitusikan ke persamaan ( 2 ) berikut. x 1 = = = = 2 x 2 − 14 2 ( 9 ) − 14 18 − 14 4 Selanjutnya cari nilai dan q . Untuk nilai : x 1 + x 2 4 + 9 13 p = = = = − p − p − p − 13 Untuk nilai q : x 1 ⋅ x 2 36 q = = = q q 36 Sehingga nilai p + q = − 13 + 36 = 23 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Misalkan suatu persamaan kuadrat: $a x^{2} + b x + c = 0$ mempunyai akar-akar $x_{1} dan x_{2}$ , maka:
Jumlah akar-akar: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

Hasil kali akar-akar: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Diketahui:

Persamaan $x^{2} + p x + q = 0$ mempunyai akar-akar positif $x_{1}$ dan $x_{2}$ .

Jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut:

$x_{1} + x_{2} x_{1} \cdot x_{2} = = - \frac{b}{a} = - \frac{p}{1} = - p \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q$

Jika $x_{1}, 6, x_{2}$ adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka rasionya:

$r 6 \cdot 6 36 x_{1} x_{2} = = = = \frac{6}{x _{1}} = \frac{x _{2}}{6} x_{1} \cdot x_{2} x_{1} x_{2} 36 ... (1)$

Jika $x_{1}, x_{2}, 14$ adalah tiga suku pertama barisan aritmatika, maka bedanya:

$b x_{2} - x_{1} x_{2} + x_{2} 2 x_{2} x_{1} = = = = = U_{n} - U_{n - 1} 14 - x_{2} 14 + x_{1} 14 + x_{1} 2 x_{2} - 14 ... (2)$

Substitusikan persamaan $(2)$ ke persamaan $(1)$

$x_{1} \cdot x_{2} (2 x_{2} - 14) x_{2} 2 x_{2}^{2} - 14 x_{2} 2 x_{2}^{2} - 14 x_{2} - 36 x_{2}^{2} - 7 x_{2} - 18 (x_{2} - 9) (x_{2} + 2) x_{2} - 9 x_{2} = = = = = = = = 363636000 0 atau x_{2} + 2 = 0 9 atau x_{2} = - 2$

Karena akar-akarnya bernilai positif maka yang memenuhi adalah $x_{2} = 9$ . Sehingga nilai $x_{1}$ dapat dicari dengan mensubstitusikan ke persamaan $(2)$ berikut.

$x_{1} = = = = 2 x_{2} - 14 2 (9) - 14 18 - 14 4$

Selanjutnya cari nilai $p$ dan $q$ .

Untuk nilai $p$ :

$x_{1} + x_{2} 4 + 9 13 p = = = = - p - p - p - 13$

Untuk nilai $q$ :

$x_{1} \cdot x_{2} 36 q = = = q q 36$

Sehingga nilai $p + q = - 13 + 36 = 23$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ( x 2 − 7 x + a ) ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ( x 2 − 7 x + a ) ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika x 1 , x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 − ( 3 k + 5 ) x + 2 k + 3 = 0 dan x 1 , k , x 2 merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio r  = 1 , dan r  = ...

0.0

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui , b , dan adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan b > 0 . Jika a + b + c = b 2 − 10 maka nilai b adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi