Pertanyaan

Himpunan nilai k yang memenuhi cos 2 k + 3 sin 2 k = 2 dengan − 9 0 ∘ ≤ k ≤ 18 0 ∘ adalah ....

Himpunan nilai $k$ yang memenuhi $cos^{2} k + 3 sin^{2} k = 2$ dengan $- 9 0^{\circ} \leq k \leq 18 0^{\circ}$ adalah ....

Y. Pangestu

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Ingat identitias trigonometri . Oleh karena itu, dapat dituliskan sebagai berikut. Ingat bahwa dan . Akibatnya, didapat atau . Ingat bahwa penyelesaian persamaan adalah , dengan . Untuk ,maka didapat Diketahui bahwa . Saat , subtitusi nilai didapat nilai-nilai sebagai berikut. Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga. Nilai ini memenuhi syarat . Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya,jika nilai semakin besar, maka tidak memenuhi syarat juga. Selanjutnya, saat ,didapat nilai-nilai sebagai berikut. Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga. Nilai ini memenuhi syarat . Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin besar, maka tidak memenuhi syarat juga. Oleh karena itu, dari , didapat himpunan nilai yang memenuhi adalah . Untuk ,maka didapat Diketahui bahwa . Saat , subtitusi nilai didapat nilai-nilai sebagai berikut. Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga. Nilai ini memenuhi syarat . Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya,jika nilai semakin besar, maka tidak memenuhi syarat juga. Selanjutnya, saat ,didapat nilai-nilai sebagai berikut. Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga. Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin besar, maka pasti tidak memenuhi syarat juga. Oleh karena itu, dari , didapat himpunan nilai yang memenuhi adalah . Kemudian, ingat lagi bahwadari , didapat himpunan nilai yang memenuhi adalah . Dengan demikian, himpunan nilai yang memenuhi dengan adalah . Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Ingat identitias trigonometri .

Oleh karena itu, dapat dituliskan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos squared k plus 3 sin squared k end cell equals 2 row cell cos squared k plus sin squared k plus 2 sin squared k end cell equals 2 row cell 1 plus 2 sin squared k end cell equals 2 row cell 2 sin squared k end cell equals 1 row cell sin squared k end cell equals cell 1 half end cell row cell sin k end cell equals cell plus-or-minus square root of 1 half end root end cell row cell sin k end cell equals cell plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction space end cell row cell sin k end cell equals cell plus-or-minus open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction times fraction numerator square root of 2 over denominator square root of 2 end fraction close parentheses end cell row cell sin k end cell equals cell plus-or-minus 1 half square root of 2 end cell end table$

Ingat bahwa dan .

Akibatnya, didapat atau .

Ingat bahwa penyelesaian persamaan adalah

dengan .

Untuk , maka didapat

Diketahui bahwa .

Saat k equals 45 degree plus m times 360 degree , subtitusi nilai didapat nilai-nilai sebagai berikut.

Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga.
Nilai ini memenuhi syarat .
Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin besar, maka tidak memenuhi syarat juga.

Selanjutnya, saat , didapat nilai-nilai sebagai berikut.

Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga.
Nilai ini memenuhi syarat .
Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin besar, maka tidak memenuhi syarat juga.

Oleh karena itu, dari , didapat himpunan nilai yang memenuhi adalah .

Untuk , maka didapat

Diketahui bahwa .

Saat k equals negative 45 degree plus m times 360 degree , subtitusi nilai didapat nilai-nilai sebagai berikut.

Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga.
Nilai ini memenuhi syarat .
Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin besar, maka tidak memenuhi syarat juga.

Selanjutnya, saat k equals 225 degree plus m times 360 degree , didapat nilai-nilai sebagai berikut.

Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin kecil, maka tidak memenuhi syarat juga.
Nilai ini tidak memenuhi syarat . Akibatnya, jika nilai semakin besar, maka pasti tidak memenuhi syarat juga.

Oleh karena itu, dari sin k equals sin open parentheses negative 45 degree close parentheses , didapat himpunan nilai yang memenuhi adalah .

Kemudian, ingat lagi bahwa dari , didapat himpunan nilai yang memenuhi adalah .

Dengan demikian, himpunan nilai yang memenuhi dengan adalah .

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.