Himpunan nilai x yang memenuhi sin 2 x = cosec 2 x dengan x sudut lancip adalah ....

Pembahasan

Perhatikan bahwa sin 2 x = cosec 2 x sin 2 x - cosec 2 x = 0 sin 2 x - = 0 Untuk menghilangkan penyebut pada persamaan di atas, maka kita kalikan kedua ruasnya dengan sin 2 x sehingga menjadi sin 2 2 x - 1 = 0 Misalkan y = sin 2 x maka persamaan di atas menjadi y 2 - 1 = 0 ( y - 1) ( y + 1) = 0 y = 1 atau y = -1 sin 2 x = 1 atau sin 2 x = -1 Ingat bahwa sin 90° = 1 dan sin ( - 90°) = - sin 90° = -1 sehingga kita punya sin 2 x = sin 90° atau sin 2 x = sin ( - 90°) Persamaan sin x = sin a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° atau x = 180° - a + k ∙ 360° d engan k ∈ N Ingat bahwa jika x sudut lancip maka 0° < x < 90° Maka dengan sin 2 x = sin 90° kita punya 2 x = 90° + k ∙ 360° x = 45° + k ∙ 180° Jika k = -1, maka x = 45° + ( - 1) ∙ 180° = 45° - 180° = -135° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 45° + ( 0) ∙ 180° = 45° + 0° = 45°. Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 45° + ( 1) ∙ 180° = 45° + 180° = 225°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya 2 x = 180° - 90° + k ∙ 360° x = 45° + k ∙ 180° Perhatikan bahwa bentuk di atas sama dengan bentuk sebelumnya sehingga memiliki penyelesaian yang sama pula. Kemudian dengan sin 2 x = sin ( - 90°) kita punya 2 x = -90° + k ∙ 360° x = -45° + k ∙ 180° Jika k = 0, maka x = -45° + ( 0) ∙ 180° = -45° + 0° = -45° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -45° + ( 1) ∙ 180° = -45° + 180° = 135°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya kita punya 2 x = 180° - ( - 90°) + k ∙ 360° x = 135° + k ∙ 180° Jika k = -1, maka x = 135° + ( - 1) ∙ 180° = 135° - 180° = -45° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 135° + ( 0) ∙ 180° = 135° + 0° = 135°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jadi, kita punya himpunan nilai x yang memenuhi yaitu { 45°}