Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi 1 + cos x 2 sin x + sin x 3 − cos x = csc x dengan 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ adalah ....

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi $\frac{2 sin x}{1 + cos x} + \frac{3 - cos x}{sin x} = csc x$ dengan $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ adalah ....

{ }
{0°}
{90°}
{-90°}
{-90°,0°,90°}

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Ingat bahwa maka Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan ( 1 + cos x) ( sin x) sehingga kita peroleh (2 sin x) ( sin x) + ( 3 - cos x) ( 1 + cos x) = ( 1 + cos x) 2 sin 2 x + 3 + 3 cos x - cos x - cos 2 x = 1 + cos x 2 sin 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 Ingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin 2 x = 1 - cos 2 x sehingga kita peroleh 2 sin 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 2 ( 1 - cos 2 x) - cos 2 x + cos x + 2 = 0 2 - 2 cos 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 - 3 cos 2 x + cos x + 4 = 0 3 cos 2 x - cos x - 4 = 0 Misalkan y = cos x maka 3 cos 2 x - cos x - 4 = 0 3 y 2 - y - 4 = 0 (3 y - 4 y) + 1 = 0 y = atau y = -1 cos x = atau cos x = -1 Ingat bahwa - 1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α . Sehingga cos x = tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = -1 Ingat bahwa cos 180° = -1 maka kita punya cos x = cos 180° Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya x = 180° + k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = 180° + ( - 1) ∙ 360° = 180° - 360° = -180° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 180° + ( 0) ∙ 360° = 180° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 180° + ( 1) ∙ 360° = 180° + 360° = 540° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya x = -( 180°) + k ∙ 360° x = -180° + k ∙ 360° Jika k = 0, maka x = -180° + ( 0) ∙ 360° = -180° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -180° + ( 1) ∙ 360° = -180° + 360° = 180° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 2, maka x = -180° + ( 2) ∙ 360° = -180° + 720° = 540° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Namun, perhatikan bahwa jika x = 180° maka sin x = 0 sehingga membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Maka dari itu, x = 180° bukan termasuk himpunan penyelesaian. Jadi, kita tidak punya himpunan nilai x yang memenuhi atau bisa dituliskan dengan { }. Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

Ingat bahwa

$begin mathsize 14px style csc space invisible function application x equals fraction numerator 1 over denominator sin space invisible function application x end fraction end style$

maka

$begin mathsize 14px style fraction numerator 2 space sin invisible function application space x over denominator 1 plus cos invisible function application space x end fraction plus fraction numerator 3 minus cos invisible function application space x over denominator sin space invisible function application x end fraction equals fraction numerator 1 over denominator sin space invisible function application x end fraction end style$

Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan (1 + cos x) (sin x) sehingga kita peroleh

(2 sin x) (sin x) + (3 - cos x) (1 + cos x) = (1 + cos x)
2 sin²x + 3 + 3 cos x - cos x - cos²x = 1 + cos x
2 sin²x - cos²x + cos x + 2 = 0

Ingat bahwa sin²x + cos²x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin²x = 1 - cos²x sehingga kita peroleh

2 sin²x - cos²x + cos x + 2 = 0
2 (1 - cos²x) - cos²x + cos x + 2 = 0
2 - 2 cos²x - cos²x + cos x + 2 = 0
-3 cos²x + cos x + 4 = 0
3 cos²x - cos x - 4 = 0

Misalkan y = cos x maka

3 cos²x - cos x - 4 = 0
3y²- y - 4 = 0
(3y - 4y) + 1 = 0

y = atau y = -1

cos x = atau cos x = -1

Ingat bahwa -1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α. Sehingga cos x = tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = -1

Ingat bahwa cos 180° = -1 maka kita punya

cos x = cos 180°

Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh

x = a + k∙360°

dan

x = -a + k∙360°

dengan k ∈ N

Pertama kita punya

x = 180° + k∙360°

Jika k = -1, maka x = 180° + (-1)∙360° = 180° - 360° = -180°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = 0, maka x = 180° + (0)∙360° = 180°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 1, maka x = 180° + (1)∙360° = 180° + 360° = 540°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Selanjutnya, kita punya

x = -(180°) + k∙360°
x = -180° + k∙360°

Jika k = 0, maka x = -180° + (0)∙360° = -180°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = 1, maka x = -180° + (1)∙360° = -180° + 360° = 180°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 2, maka x = -180° + (2)∙360° = -180° + 720° = 540°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Namun, perhatikan bahwa jika x = 180° maka sin x = 0 sehingga membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Maka dari itu, x = 180° bukan termasuk himpunan penyelesaian.

Jadi, kita tidak punya himpunan nilai x yang memenuhi atau bisa dituliskan dengan { }.

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.