Iklan

Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi 1 + cos x 2 sin x ​ + sin x 3 − cos x ​ = csc x dengan 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ adalah ....

Himpunan nilai  yang memenuhi  dengan  adalah ....

  1. { }

  2. {0°}

  3. {90°}

  4. {-90°}

  5. {-90°,0°,90°}

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

00

:

02

:

17

:

28

Iklan

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Ingat bahwa maka Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan ( 1 + cos x) ( sin x) sehingga kita peroleh (2 sin x) ( sin x) + ( 3 - cos x) ( 1 + cos x) = ( 1 + cos x) 2 sin 2 x + 3 + 3 cos x - cos x - cos 2 x = 1 + cos x 2 sin 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 Ingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin 2 x = 1 - cos 2 x sehingga kita peroleh 2 sin 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 2 ( 1 - cos 2 x) - cos 2 x + cos x + 2 = 0 2 - 2 cos 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 - 3 cos 2 x + cos x + 4 = 0 3 cos 2 x - cos x - 4 = 0 Misalkan y = cos x maka 3 cos 2 x - cos x - 4 = 0 3 y 2 - y - 4 = 0 (3 y - 4 y) + 1 = 0 y = atau y = -1 cos x = atau cos x = -1 Ingat bahwa - 1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α . Sehingga cos x = tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = -1 Ingat bahwa cos 180° = -1 maka kita punya cos x = cos 180° Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya x = 180° + k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = 180° + ( - 1) ∙ 360° = 180° - 360° = -180° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 180° + ( 0) ∙ 360° = 180° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 180° + ( 1) ∙ 360° = 180° + 360° = 540° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya x = -( 180°) + k ∙ 360° x = -180° + k ∙ 360° Jika k = 0, maka x = -180° + ( 0) ∙ 360° = -180° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -180° + ( 1) ∙ 360° = -180° + 360° = 180° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 2, maka x = -180° + ( 2) ∙ 360° = -180° + 720° = 540° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Namun, perhatikan bahwa jika x = 180° maka sin x = 0 sehingga membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Maka dari itu, x = 180° bukan termasuk himpunan penyelesaian. Jadi, kita tidak punya himpunan nilai x yang memenuhi atau bisa dituliskan dengan { }. Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

Ingat bahwa

begin mathsize 14px style csc space invisible function application x equals fraction numerator 1 over denominator sin space invisible function application x end fraction end style 

maka

begin mathsize 14px style fraction numerator 2 space sin invisible function application space x over denominator 1 plus cos invisible function application space x end fraction plus fraction numerator 3 minus cos invisible function application space x over denominator sin space invisible function application x end fraction equals fraction numerator 1 over denominator sin space invisible function application x end fraction end style 

 

Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan (1 + cos x) (sin x) sehingga kita peroleh

(2 sin x) (sin x) + (3 - cos x) (1 + cos x) = (1 + cos x)
sin
+ 3 + 3 cos cos cos= 1 + cos 
sin
coscos + 2 = 0

Ingat bahwa sincos= 1 atau bisa dituliskan dengan sin= 1 - cosx sehingga kita peroleh

sincoscos + 2 = 0
2 (1 - cos
x) coscos + 2 = 0
2 - 2 cos
coscos + 2 = 0
-cos
cos + 4 = 0
cos
cos 4 = 0

Misalkan cos x maka

coscos 4 = 0
3y
4 = 0
(34y) + 1 = 0

begin mathsize 14px style 4 over 3 end style atau = -1

cos begin mathsize 14px style 4 over 3 end style atau cos = -1

Ingat bahwa -1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α. Sehingga cos begin mathsize 14px style 4 over 3 end style tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos = -1

Ingat bahwa cos 180° = -1 maka kita punya

cos cos 180°

Persamaan cos cos a terpenuhi oleh

k360°

dan

= -k360°

dengan ∈ N

Pertama kita punya

= 180° + k360°

Jika = -1, maka = 180° + (-1)360° = 180° - 360° = -180°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x  juga.

Jika = 0, maka = 180° + (0)360° = 180°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika = 1, maka = 180° + (1)360° = 180° + 360° = 540°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x  juga.

Selanjutnya, kita punya

= -(180°) k360°
= -180° + k360°

Jika = 0, maka = -180° + (0)360° = -180°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k  makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika = 1, maka = -180° + (1)360° = -180° + 360° = 180°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika = 2, maka = -180° + (2)360° = -180° + 720° = 540°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Namun, perhatikan bahwa jika = 180° maka sin = 0 sehingga membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Maka dari itu, = 180° bukan termasuk himpunan penyelesaian.

Jadi, kita tidak punya himpunan nilai x yang memenuhi atau bisa dituliskan dengan { }.

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1

Iklan

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!