Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi 1 + cos x 2 sin x + sin x 3 − cos x = csc x dengan 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ adalah ....

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi $\frac{2 sin x}{1 + cos x} + \frac{3 - cos x}{sin x} = csc x$ dengan $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ adalah ....

{ }
{0°}
{90°}
{-90°}
{-90°,0°,90°}

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Ingat bahwa maka Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan ( 1 + cos x) ( sin x) sehingga kita peroleh (2 sin x) ( sin x) + ( 3 - cos x) ( 1 + cos x) = ( 1 + cos x) 2 sin 2 x + 3 + 3 cos x - cos x - cos 2 x = 1 + cos x 2 sin 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 Ingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin 2 x = 1 - cos 2 x sehingga kita peroleh 2 sin 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 2 ( 1 - cos 2 x) - cos 2 x + cos x + 2 = 0 2 - 2 cos 2 x - cos 2 x + cos x + 2 = 0 - 3 cos 2 x + cos x + 4 = 0 3 cos 2 x - cos x - 4 = 0 Misalkan y = cos x maka 3 cos 2 x - cos x - 4 = 0 3 y 2 - y - 4 = 0 (3 y - 4 y) + 1 = 0 y = atau y = -1 cos x = atau cos x = -1 Ingat bahwa - 1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α . Sehingga cos x = tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = -1 Ingat bahwa cos 180° = -1 maka kita punya cos x = cos 180° Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya x = 180° + k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = 180° + ( - 1) ∙ 360° = 180° - 360° = -180° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 180° + ( 0) ∙ 360° = 180° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 180° + ( 1) ∙ 360° = 180° + 360° = 540° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya x = -( 180°) + k ∙ 360° x = -180° + k ∙ 360° Jika k = 0, maka x = -180° + ( 0) ∙ 360° = -180° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -180° + ( 1) ∙ 360° = -180° + 360° = 180° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 2, maka x = -180° + ( 2) ∙ 360° = -180° + 720° = 540° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Namun, perhatikan bahwa jika x = 180° maka sin x = 0 sehingga membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Maka dari itu, x = 180° bukan termasuk himpunan penyelesaian. Jadi, kita tidak punya himpunan nilai x yang memenuhi atau bisa dituliskan dengan { }. Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

Ingat bahwa

$begin mathsize 14px style csc space invisible function application x equals fraction numerator 1 over denominator sin space invisible function application x end fraction end style$

maka

$begin mathsize 14px style fraction numerator 2 space sin invisible function application space x over denominator 1 plus cos invisible function application space x end fraction plus fraction numerator 3 minus cos invisible function application space x over denominator sin space invisible function application x end fraction equals fraction numerator 1 over denominator sin space invisible function application x end fraction end style$

Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan (1 + cos x) (sin x) sehingga kita peroleh

(2 sin x) (sin x) + (3 - cos x) (1 + cos x) = (1 + cos x)
2 sin²x + 3 + 3 cos x - cos x - cos²x = 1 + cos x
2 sin²x - cos²x + cos x + 2 = 0

Ingat bahwa sin²x + cos²x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin²x = 1 - cos²x sehingga kita peroleh

2 sin²x - cos²x + cos x + 2 = 0
2 (1 - cos²x) - cos²x + cos x + 2 = 0
2 - 2 cos²x - cos²x + cos x + 2 = 0
-3 cos²x + cos x + 4 = 0
3 cos²x - cos x - 4 = 0

Misalkan y = cos x maka

3 cos²x - cos x - 4 = 0
3y²- y - 4 = 0
(3y - 4y) + 1 = 0

y = atau y = -1

cos x = atau cos x = -1

Ingat bahwa -1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α. Sehingga cos x = tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = -1

Ingat bahwa cos 180° = -1 maka kita punya

cos x = cos 180°

Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh

x = a + k∙360°

dan

x = -a + k∙360°

dengan k ∈ N

Pertama kita punya

x = 180° + k∙360°

Jika k = -1, maka x = 180° + (-1)∙360° = 180° - 360° = -180°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = 0, maka x = 180° + (0)∙360° = 180°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 1, maka x = 180° + (1)∙360° = 180° + 360° = 540°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Selanjutnya, kita punya

x = -(180°) + k∙360°
x = -180° + k∙360°

Jika k = 0, maka x = -180° + (0)∙360° = -180°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = 1, maka x = -180° + (1)∙360° = -180° + 360° = 180°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 2, maka x = -180° + (2)∙360° = -180° + 720° = 540°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Namun, perhatikan bahwa jika x = 180° maka sin x = 0 sehingga membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Maka dari itu, x = 180° bukan termasuk himpunan penyelesaian.

Jadi, kita tidak punya himpunan nilai x yang memenuhi atau bisa dituliskan dengan { }.

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.