Banyaknya nilai x yang memenuhi 1 − cos x 3 sin x ​ − sin x 1 + cos x ​ = 1 − cos x 2 ​ dengan 0 ∘ ≤ x < 36 0 ∘ adalah ....

Pembahasan

Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan ( 1 - cos x) ( sin x) sehingga kita peroleh (3 sin x)( sin x) - ( 1 - cos x) ( 1 + cos x) = 2 sin x 3 sin 2 x - 1 - cos x + cos x + cos 2 x = 2 sin x 3 sin 2 x + cos 2 x - 2 sin x - 1 = 0 Ingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1 atau bisa dituliskan dengan cos 2 x = 1 - sin 2 x sehingga kita peroleh 3 sin 2 x + cos 2 x - 2 sin x - 1 = 0 3 sin 2 x + ( 1 - sin 2 x) - 2 sin x - 1 = 0 3 sin 2 x + 1 - sin 2 x - 2 sin x - 1 = 0 2 sin 2 x - 2 sin x = 0 sin 2 x - sin x = 0 Misalkan y = sin x maka sin 2 x - sin x = 0 y 2 - y = 0 (y) ( y - 1) = 0 y = 0 atau y = 1 sin x = 0 atau sin x = 1 Ingat bahwa sin 0° = 0 sin 90° = 1 maka kita punya sin x = sin 0° atau sin x = sin 90° Persamaan sin x = sin a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = 180° - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya x = 0° + k ∙ 360° x = k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = ( - 1) ∙ 360° = -360° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = ( 0) ∙ 360° = 0° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = ( 1) ∙ 360° = 360° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya x = 180° - ( 0°) + k ∙ 360° x = 180° + k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = 180° + ( - 1) ∙ 360° = 180° - 360° = -180° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 180° + ( 0) ∙ 360° = 180° . Nilai ini memenuhi syarat x Jika k = 1, maka x = 180° + ( 1) ∙ 360° = 180° + 360° = 540° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Lalu, kita punya x = 90° + k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = 90° + ( - 1) ∙ 360° = 90° - 360° = -270° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 90° + ( 0) ∙ 360° = 90° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 90° + ( 1) ∙ 360°= 90° + 360° = 450° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Kemudian, kita punya x = 180° - 90° + k ∙ 360° x = 90° + k ∙ 360° Perhatikan bahwa bentuk di atas sama dengan bentuk sebelumnya sehingga penyelesaiannya pun juga sama. Namun, perhatikan bahwa ada penyebut dengan bentuk sin x dan jika x = 0° dan x = 180° maka sin 0° = sin 180° = 0 membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Sehingga bisa kita simpulkan bahwa x = 0° dan x = 180° tidak termasuk himpunan penyelesaian. Untuk x = 90° , tidak membuat penyebut pada fungsi sama dengan 0 sehingga x = 90° termasuk ke dalam himpunan penyelesaian. Jadi, banyaknya nilai x yang memenuhi ada 1. Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah D.