Pertanyaan

Hasil dari ∫ e x cos 2 x d x adalah ....

Hasil dari $\int \frac{cos 2 x}{e ^{x}} d x$ adalah ....

S. Luke

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Perhatikan bahwa bentuk dapat dituliskan dengan sehingga didapat hubungan sebagai berikut. Akan ditentukan hasil integral di atas dengan menggunakan integral parsial. Misal dan , maka diperoleh hasil sebagai berikut. dan Dengan demikian, didapat perhitungan sebagai berikut. Selanjutnya, gunakan metode parsial untuk mencari hasil integral . Misal dan , maka didapat hasil sebagai berikut. dan Oleh karena itu, diperoleh hasil sebagai berikut. ∫ e − x cos 2 x d x ∫ e − x cos 2 x d x ∫ e − x cos 2 x d x ∫ e − x cos 2 x d x ∫ e − x cos 2 x d x + 4 1 ∫ e − x cos 2 x d x 4 5 ∫ e − x cos 2 x d x ∫ e − x cos 2 x d x ∫ e − x cos 2 x d x = = = = = = = = 2 1 e − x sin 2 x + 2 1 ∫ e − x sin 2 x d x 2 1 e − x sin 2 x + 2 1 ( e − x ⋅ ( − 2 1 cos 2 x ) − ∫ ( − 2 1 cos 2 x ) ⋅ ( − e − x ) d x ) 2 1 e − x sin 2 x + 2 1 ( − 2 1 e − x cos 2 x − 2 1 ∫ e − x cos 2 x d x ) 2 1 e − x sin 2 x − 4 1 e − x cos 2 x − 4 1 ∫ e − x cos 2 x d x 2 1 e − x sin 2 x − 4 1 e − x cos 2 x + C 2 1 e − x sin 2 x − 4 1 e − x cos 2 x + C 5 4 ⋅ 4 1 e − x ( sin 2 x − cos 2 x ) + C 5 1 e − x ( sin 2 x − cos 2 x ) + C Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Perhatikan bahwa bentuk $begin mathsize 14px style fraction numerator cos 2 x over denominator e to the power of x end fraction end style$ dapat dituliskan dengan sehingga didapat hubungan sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style integral space fraction numerator cos 2 x over denominator e to the power of x end fraction space d x equals integral space e to the power of negative x end exponent cos 2 x space d x end style$

Akan ditentukan hasil integral di atas dengan menggunakan integral parsial.

Misal dan $begin mathsize 14px style fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals cos 2 x end style$ , maka diperoleh hasil sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style fraction numerator d u over denominator d x end fraction equals negative e to the power of negative x end exponent end style$

dan

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row v equals cell integral space fraction numerator d v over denominator d x end fraction space d x end cell row blank equals cell integral space cos 2 x space d x semicolon space gunakan space metode space substitusi end cell row blank equals cell 1 half sin 2 straight x plus straight C end cell end table end style$

Dengan demikian, didapat perhitungan sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell integral space e to the power of negative x end exponent cos 2 x space d x end cell equals cell u v minus integral space v space fraction numerator d u over denominator d x end fraction d x end cell row blank equals cell e to the power of negative x end exponent times 1 half sin 2 x minus integral space 1 half sin 2 x times open parentheses negative e to the power of negative x end exponent close parentheses space d x end cell row blank equals cell 1 half e to the power of negative x end exponent sin 2 x plus 1 half integral space e to the power of negative x end exponent sin 2 x space d x end cell end table end style$

Selanjutnya, gunakan metode parsial untuk mencari hasil integral.
Misal dan $begin mathsize 14px style fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals sin 2 x end style$ , maka didapat hasil sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style fraction numerator d u over denominator d x end fraction equals negative e to the power of negative x end exponent end style$

dan

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row v equals cell integral space fraction numerator d v over denominator d x end fraction d x end cell row blank equals cell integral space sin 2 x space d x end cell row blank equals cell negative 1 half cos 2 straight x plus straight C end cell end table end style$

Oleh karena itu, diperoleh hasil sebagai berikut.

$\int e^{- x} cos 2 x d x \int e^{- x} cos 2 x d x \int e^{- x} cos 2 x d x \int e^{- x} cos 2 x d x \int e^{- x} cos 2 x d x + \frac{1}{4} \int e^{- x} cos 2 x d x \frac{5}{4} \int e^{- x} cos 2 x d x \int e^{- x} cos 2 x d x \int e^{- x} cos 2 x d x = = = = = = = = \frac{1}{2} e^{- x} sin 2 x + \frac{1}{2} \int e^{- x} sin 2 x d x \frac{1}{2} e^{- x} sin 2 x + \frac{1}{2} (e^{- x} \cdot (- \frac{1}{2} cos 2 x) - \int (- \frac{1}{2} cos 2 x) \cdot (- e^{- x}) d x) \frac{1}{2} e^{- x} sin 2 x + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos 2 x - \frac{1}{2} \int e^{- x} cos 2 x d x) \frac{1}{2} e^{- x} sin 2 x - \frac{1}{4} e^{- x} cos 2 x - \frac{1}{4} \int e^{- x} cos 2 x d x \frac{1}{2} e^{- x} sin 2 x - \frac{1}{4} e^{- x} cos 2 x + C \frac{1}{2} e^{- x} sin 2 x - \frac{1}{4} e^{- x} cos 2 x + C \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} e^{- x} (sin 2 x - cos 2 x) + C \frac{1}{5} e^{- x} (sin 2 x - cos 2 x) + C$