Iklan

Iklan

Pertanyaan

Gambar di samping menunjukkan sebuah lingkaran dengan segitiga sama sisi ABC di dalam lingkaran yang berpusat di O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 1 satuan. Dalam gambar, titik P merupakan titik sembarang antara titik pusat lingkaran dan titik A. Misalkan dalam sistem koordinat polar, P ( r , 0 ) . Dengan menggunakan formula jarak dalam sistem koordinat polar, buktikan bahwa: ∣ PA ∣ ⋅ ∣ PB ∣ ⋅ ∣ PC ∣ = 1 − r 3

Gambar di samping menunjukkan sebuah lingkaran dengan segitiga sama sisi ABC di dalam lingkaran yang berpusat di  dan berjari-jari  satuan. Dalam gambar, titik  merupakan titik sembarang antara titik pusat lingkaran dan titik A. Misalkan dalam sistem koordinat polar, . Dengan menggunakan formula jarak dalam sistem koordinat polar, buktikan bahwa:

Iklan

F. Kurnia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

tidak terbukti bahwa ∣ PA ∣ ⋅ ∣ PB ∣ ⋅ ∣ PC ∣ = 1 − r 3 .

tidak terbukti bahwa .

Iklan

Pembahasan

Perhatikan bahwa segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi, sehingga besar sudut AOB, AOC, dan BOC besarnya sama, yaitu ∠ AOB ​ = = ​ ∠ AOC = ∠ BOC 3 2 π ​ ​ Titik A berada pada sumbu x sehingga sudutnya adalah 0 radian, maka koordinat polar titik A adalah A ( r , 0 ) , sedangkan B ( r , 3 2 π ​ ) dan C ( r , 3 4 π ​ ) . Diketahui jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehinggakoordinat titik A , B , dan C dalam koordinat polar adalah A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 3 2 π ​ ) dan C ( 1 , 3 4 π ​ ) . Ingat bahwa, formula jarak pada koordinat polar berlaku d = r 1 2 ​ + r 2 2 ​ − 2 r 1 ​ ⋅ r 2 ​ cos ( θ 2 ​ − θ 1 ​ ) ​ maka ∣ PA ∣ ∣ PB ∣ ∣ PC ∣ ​ = = = = = = = = = = ​ 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 0 ) ​ 1 + r 2 − 2 r ​ ( r − 1 ) 2 ​ r − 1 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 3 2 π ​ ) ​ 1 + r 2 − 2 r ⋅ ( − 2 1 ​ ) ​ r 2 + r + 1 ​ 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 3 4 π ​ ) ​ 1 + r 2 − 2 r ⋅ ( − 2 1 ​ ) ​ r 2 + r + 1 ​ ​ Didapatkan ∣ PA ∣ ⋅ ∣ PB ∣ ⋅ ∣ PC ∣ ​ = = = ​ ( r − 1 ) ( r 2 + r + 1 ) r 3 + r 2 + r − r 2 − r − 1 r 3 − 1 ​ Dengan demikian, tidak terbukti bahwa ∣ PA ∣ ⋅ ∣ PB ∣ ⋅ ∣ PC ∣ = 1 − r 3 .

Perhatikan bahwa segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi, sehingga besar sudut AOB, AOC, dan BOC besarnya sama, yaitu

Titik A berada pada sumbu  sehingga sudutnya adalah  radian, maka koordinat polar titik A adalah , sedangkan  dan .

Diketahui jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehingga koordinat titik  dalam koordinat polar adalah ,  dan .

Ingat bahwa, formula jarak pada koordinat polar berlaku

maka

Didapatkan

Dengan demikian, tidak terbukti bahwa .

25

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Gambar di samping menunjukkan sebuah lingkaran dengan segitiga sama sisi ABC di dalam lingkaran yang berpusat di O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 1 satuan. Tuliskan koordinat titik A , B , dan C dalam koo...

41

0.0

Jawaban terverifikasi

Iklan

Iklan

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Fitur Roboguru

Topik Roboguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia