Gambar di samping menunjukkan sebuah lingkaran dengan segitiga sama sisi ABC di dalam lingkaran yang berpusat di O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 1 satuan. Dalam gambar, titik P merupakan titik sembarang antara titik pusat lingkaran dan titik A. Misalkan dalam sistem koordinat polar, P ( r , 0 ) . Dengan menggunakan formula jarak dalam sistem koordinat polar, buktikan bahwa: ∣ PA ∣ ⋅ ∣ PB ∣ ⋅ ∣ PC ∣ = 1 − r 3

Pembahasan

Perhatikan bahwa segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi, sehingga besar sudut AOB, AOC, dan BOC besarnya sama, yaitu ∠ AOB ​ = = ​ ∠ AOC = ∠ BOC 3 2 π ​ ​ Titik A berada pada sumbu x sehingga sudutnya adalah 0 radian, maka koordinat polar titik A adalah A ( r , 0 ) , sedangkan B ( r , 3 2 π ​ ) dan C ( r , 3 4 π ​ ) . Diketahui jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehinggakoordinat titik A , B , dan C dalam koordinat polar adalah A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 3 2 π ​ ) dan C ( 1 , 3 4 π ​ ) . Ingat bahwa, formula jarak pada koordinat polar berlaku d = r 1 2 ​ + r 2 2 ​ − 2 r 1 ​ ⋅ r 2 ​ cos ( θ 2 ​ − θ 1 ​ ) ​ maka ∣ PA ∣ ∣ PB ∣ ∣ PC ∣ ​ = = = = = = = = = = ​ 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 0 ) ​ 1 + r 2 − 2 r ​ ( r − 1 ) 2 ​ r − 1 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 3 2 π ​ ) ​ 1 + r 2 − 2 r ⋅ ( − 2 1 ​ ) ​ r 2 + r + 1 ​ 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 3 4 π ​ ) ​ 1 + r 2 − 2 r ⋅ ( − 2 1 ​ ) ​ r 2 + r + 1 ​ ​ Didapatkan ∣ PA ∣ ⋅ ∣ PB ∣ ⋅ ∣ PC ∣ ​ = = = ​ ( r − 1 ) ( r 2 + r + 1 ) r 3 + r 2 + r − r 2 − r − 1 r 3 − 1 ​ Dengan demikian, tidak terbukti bahwa ∣ PA ∣ ⋅ ∣ PB ∣ ⋅ ∣ PC ∣ = 1 − r 3 .