Pertanyaan

Gambar di samping menunjukkan sebuah bahwa △ ABC sama sisi terletak dalam sebuah lingkaranberpusat di O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 1 satuan. titik Q terletak pada tembereng OAC dan jarak titik O ( 0 , 0 ) ke titik Q adalah r satuan.buktikan bahwa: ∣ QA ∣ ⋅ ∣ QB ∣ ⋅ ∣ QC ∣ = 1 − r 3

Gambar di samping menunjukkan sebuah bahwa $△ ABC$ sama sisi terletak dalam sebuah lingkaran berpusat di $O (0, 0)$ dan berjari-jari $1$ satuan. titik $Q$ terletak pada tembereng $OAC$ dan jarak titik $O (0, 0)$ ke titik $Q$ adalah $r$ satuan. buktikan bahwa:

$∣ QA ∣ \cdot ∣ QB ∣ \cdot ∣ QC ∣ = 1 - r^{3}$

F. Kurnia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

tidak terbukti bahwa ∣ QA ∣ ⋅ ∣ QB ∣ ⋅ ∣ QC ∣ = 1 − r 3 .

tidak terbukti bahwa

∣ QA ∣ \cdot ∣ QB ∣ \cdot ∣ QC ∣ = 1 - r^{3}

Pembahasan

Perhatikan bahwa segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi, sehingga besar sudut AOB, AOC, dan BOC besarnya sama, yaitu ∠ AOB = = ∠ AOC = ∠ BOC 3 2 π Titik A berada pada sumbu x sehingga sudutnya adalah 0 radian, maka koordinat polar titik A adalah A ( r , 0 ) , sedangkan B ( r , 3 2 π ) dan C ( r , 3 4 π ) . Diketahui jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehinggakoordinat titik A , B , dan C dalam koordinat polar adalah A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 3 2 π ) dan C ( 1 , 3 4 π ) . Ingat bahwa, formula jarak pada koordinat polar berlaku d = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 ⋅ r 2 cos ( θ 2 − θ 1 ) dengan titik Q pada tembereng AOC, maka θ Q = 2 5 π , sehingga ∣ Q A ∣ ∣ QB ∣ ∣ QC ∣ = = = = = = = = = = 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 3 5 π ) 1 + r 2 − 2 r ( 2 1 ) r 2 − r + 1 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( π ) 1 + r 2 − 2 r ⋅ ( − 1 ) r 2 + 2 r + 1 ( r + 1 ) 1 2 + r 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ r cos ( 3 π ) 1 + r 2 − 2 r ⋅ ( 2 1 ) r 2 − r + 1 Didapatkan ∣ QA ∣ ⋅ ∣ QB ∣ ⋅ ∣ QC ∣ = = = ( r + 1 ) ( r 2 − r + 1 ) r 3 − r 2 + r + r 2 − r + 1 r 3 + 1 Dengan demikian, tidak terbukti bahwa ∣ QA ∣ ⋅ ∣ QB ∣ ⋅ ∣ QC ∣ = 1 − r 3 .

Perhatikan bahwa segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi, sehingga besar sudut AOB, AOC, dan BOC besarnya sama, yaitu

$∠ AOB = = ∠ AOC = ∠ BOC \frac{2 π}{3}$

Titik A berada pada sumbu $x$ sehingga sudutnya adalah $0$ radian, maka koordinat polar titik A adalah $A (r, 0)$ , sedangkan $B (r, \frac{2 π}{3})$ dan $C (r, \frac{4 π}{3})$ .

Diketahui jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehingga koordinat titik $A, B, dan C$ dalam koordinat polar adalah $A (1, 0)$ , $B (1, \frac{2 π}{3})$ dan $C (1, \frac{4 π}{3})$ .

Ingat bahwa, formula jarak pada koordinat polar berlaku

$d = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} \cdot r_{2} cos (θ_{2} - θ_{1})$

dengan titik $Q$ pada tembereng AOC, maka $θ_{Q} = \frac{5 π}{2}$ , sehingga

$∣ Q A ∣ ∣ QB ∣ ∣ QC ∣ = = = = = = = = = = 1^{2} + r^{2} - 2 \cdot 1 \cdot r cos (\frac{5 π}{3}) 1 + r^{2} - 2 r (\frac{1}{2}) r^{2} - r + 1 1^{2} + r^{2} - 2 \cdot 1 \cdot r cos (π) 1 + r^{2} - 2 r \cdot (- 1) r^{2} + 2 r + 1 (r + 1) 1^{2} + r^{2} - 2 \cdot 1 \cdot r cos (\frac{π}{3}) 1 + r^{2} - 2 r \cdot (\frac{1}{2}) r^{2} - r + 1$

Didapatkan

$∣ QA ∣ \cdot ∣ QB ∣ \cdot ∣ QC ∣ = = = (r + 1) (r^{2} - r + 1) r^{3} - r^{2} + r + r^{2} - r + 1 r^{3} + 1$

Dengan demikian, tidak terbukti bahwa $∣ QA ∣ \cdot ∣ QB ∣ \cdot ∣ QC ∣ = 1 - r^{3}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Gambar di samping menunjukkan sebuah lingkaran dengan segitiga sama sisi ABC di dalam lingkaran yang berpusat di O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 1 satuan. Tuliskan koordinat titik A , B , dan C dalam koo...

0.0

Jawaban terverifikasi

Gambar di samping menunjukkan sebuah lingkaran dengan segitiga sama sisi ABC di dalam lingkaran yang berpusat di O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 1 satuan. Dalam gambar, titik P merupakan titik sembarang ...

1.0

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi

1.0

Jawaban terverifikasi

Ubahlah menjadi bentuk persegi panjang (Cartesius) setiap bentuk berikut. a. r = 2 cos θ

0.0

Jawaban terverifikasi