Dua mesin roket dengan gaya yang ditunjukkan oleh vektor ⎝ ⎛ 6 10 − 3 ⎠ ⎞ dan ⎝ ⎛ − 1 8 15 ⎠ ⎞ .
Tentukan resultan gaya pada roket.
Roket bergerak pada arah yang ditunjukkan oleh vektor ⎝ ⎛ − 1 19 4 ⎠ ⎞ . Berapa gaya yang harus dikerjakan oleh mesin ketiga agar arah ini tercapai?
Hitung sudut antara arah baru dan arah semula.
Dua mesin roket dengan gaya yang ditunjukkan oleh vektor ⎝⎛610−3⎠⎞ dan ⎝⎛−1815⎠⎞.
Tentukan resultan gaya pada roket.
Roket bergerak pada arah yang ditunjukkan oleh vektor ⎝⎛−1194⎠⎞. Berapa gaya yang harus dikerjakan oleh mesin ketiga agar arah ini tercapai?
besar sudut antara arah baru dan arah semula adalah mendekati 2 7 ∘ .
besar sudut antara arah baru dan arah semula adalah mendekati 27∘.
Pembahasan
Poin a:
Resultan gaya pada roket dapat diperoleh dengan menjumlahkan kedua vektor gaya yang diberikan pada soal. Penjumlahan dari dua vektor dapat dilakukan secara aljabar sebagaimana penjumlahan berikut:
Resultan Gaya = = = ⎝ ⎛ 6 10 − 3 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ − 1 8 15 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 6 + ( − 1 ) 10 + 8 − 3 + 15 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 5 18 12 ⎠ ⎞
Dengan demikian, resultan gaya pada roket adalah ⎝ ⎛ 5 18 12 ⎠ ⎞ .
Poin b:
Agar arah yang ditunjukkan oleh vektor ⎝ ⎛ − 1 19 4 ⎠ ⎞ tercapai, maka hasil penjumlahan antara vektor gaya mesin pertama, mesin kedua dan mesin ketiga adalah ⎝ ⎛ − 1 19 4 ⎠ ⎞ . Misalkan vektor gaya mesin ketigayaitu ⎝ ⎛ a b c ⎠ ⎞ . Maka:
⎝ ⎛ 6 10 − 3 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ − 1 8 15 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ a b c ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ a b c ⎠ ⎞ = = = = ⎝ ⎛ − 1 19 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 19 4 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 6 10 − 3 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ − 1 8 15 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 − 6 − ( − 1 ) 19 − 10 − 8 4 − ( − 3 ) − 15 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 6 1 − 8 ⎠ ⎞
Dengan demikian, vektor gaya yang harus dikerjakan oleh mesin ketiga agar arah yang dimaksud tercapai adalah ⎝ ⎛ − 6 1 − 8 ⎠ ⎞ .
Poin c:
Ingat bahwa besar sudut antara dua vektor a = ⎝ ⎛ a 1 a 2 a 3 ⎠ ⎞ dan b = ⎝ ⎛ b 1 b 2 b 3 ⎠ ⎞ dapat dihitung menggunakan rumus berikut:
cos θ = = ∣ a ∣ ∣ b ∣ a ⋅ b ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
Vektor arah baru adalah ⎝ ⎛ − 1 19 4 ⎠ ⎞ . Sedangkan vektor arah semula merupakan resultan gaya yang dihitung pada poin a yaitu ⎝ ⎛ 5 18 12 ⎠ ⎞ . Besar sudut antara arah baru dan arah semula, yaitu:
cos θ θ = = = = ≈ ≈ ≈ ∣ ∣ ( − 1 19 4 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ( 5 18 12 ) ∣ ∣ ( − 1 19 4 ) ⋅ ( 5 18 12 ) ( ( − 1 ) 2 + ( 19 ) 2 + ( 4 ) 2 ) ( ( 5 ) 2 + ( 18 ) 2 + ( 12 ) 2 ) ( − 1 ) ( 5 ) + ( 19 ) ( 18 ) + ( 4 ) ( 12 ) ( 1 + 361 + 16 ) ( 25 + 324 + 144 ) − 5 + 342 + 48 ( 378 ) ( 493 ) 385 0 , 89 cos − 1 ( 0 , 89 ) 2 7 ∘
Dengan demikian, besar sudut antara arah baru dan arah semula adalah mendekati 2 7 ∘ .
Poin a:
Resultan gaya pada roket dapat diperoleh dengan menjumlahkan kedua vektor gaya yang diberikan pada soal. Penjumlahan dari dua vektor dapat dilakukan secara aljabar sebagaimana penjumlahan berikut:
Dengan demikian, resultan gaya pada roket adalah ⎝⎛51812⎠⎞.
Poin b:
Agar arah yang ditunjukkan oleh vektor ⎝⎛−1194⎠⎞ tercapai, maka hasil penjumlahan antara vektor gaya mesin pertama, mesin kedua dan mesin ketiga adalah ⎝⎛−1194⎠⎞. Misalkan vektor gaya mesin ketiga yaitu ⎝⎛abc⎠⎞. Maka:
Vektor arah baru adalah ⎝⎛−1194⎠⎞. Sedangkan vektor arah semula merupakan resultan gaya yang dihitung pada poin a yaitu ⎝⎛51812⎠⎞. Besar sudut antara arah baru dan arah semula, yaitu: