Diketahui koordinat A ( − 1 , 2 , 3 ) , B ( 4 , − 5 , 0 ) , dan C ( − 2 , − 1 , 3 ) . Jika a , b , dan c merupakan vektor posisi dari A , B , dan C , tentukan : d. cosinus sudut antara vektor ( 2 a − 4 b ) dan ( b + c ) ,

Pembahasan

Jawaban yang benar dari pertanyaan tersebut adalah 182 27 ​ 26 ​ . Misalkan ( 2 a − 4 b ) = p ​ dan b + c = q ​ , maka diperoleh : p ​ = = = = = = ​ 2 a − 4 b 2 ⎝ ⎛ ​ − 1 2 3 ​ ⎠ ⎞ ​ − 4 ⎝ ⎛ ​ 4 − 5 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ − 2 4 6 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 16 − 20 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ − 2 − 16 4 − ( − 20 ) 6 − 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ − 18 4 + 20 6 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ − 18 24 6 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ q ​ ​ = = = = ​ b + c ⎝ ⎛ ​ 4 − 5 0 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ − 2 − 1 3 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 4 + ( − 2 ) − 5 − 1 0 + 3 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 2 − 6 3 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Ingat proyeksi skalar a pada b dirumuskan : cos θ = ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ a ⋅ b ​ sehingga cosinus sudut antara vektor ( 2 a − 4 b ) dan ( b + c ) dapat dicari seperti berikut cos θ = ∣ ∣ ​ p ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ q ​ ∣ ∣ ​ p ​ ⋅ q ​ ​ perhatikan beberapa sifat berikut: perkalian titik pada vektor jika a = x 1 ​ i + y 1 ​ j ⇀ ​ + z 1 ​ k dan b = x 2 ​ i + y 2 ​ j ⇀ ​ + z 2 ​ k maka a ⋅ b = x 1 ​ x 2 ​ + y 1 ​ y 2 ​ + z 1 ​ z 2 ​ ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ = x 1 2 ​ + y 1 2 ​ + z 1 2 ​ ​ sehingga diperoleh : p ​ ⋅ q ​ ​ = = = ​ ( − 18 ) ( 2 ) + ( 24 ) ( − 6 ) + ( 6 ) ( 3 ) − 36 − 144 + 18 162 ​ ∣ ∣ ​ p ​ ∣ ∣ ​ ​ = = = = = ​ ( − 18 ) 2 + 2 4 2 + 6 2 ​ 324 + 576 + 36 ​ 936 ​ 36 × 26 ​ 6 26 ​ ​ ∣ ∣ ​ q ​ ∣ ∣ ​ ​ = = = = ​ 2 2 + ( − 6 ) 2 + 3 2 ​ 4 + 36 + 9 ​ 49 ​ 7 ​ substitusikan nilai tersebut ke dalam rumus sehingga diperoleh : cos θ ​ = = = = = ​ 6 26 ​ × 7 162 ​ 42 26 ​ 162 ​ 7 26 ​ 27 ​ ⋅ 26 ​ 26 ​ ​ ( kali sekawan ) 7 ⋅ 26 27 ​ 26 ​ 182 27 ​ 26 ​ ​ Dengan demikian, jawaban yang benar adalah 182 27 ​ 26 ​ .